Text about normalizing Shredinger equation

norm.tex

@@ -0,0 +1,164 @@
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+
+\begin{document}
+\section{Линейное преобразование переменных}
+Пусть есть гамильтониан
+\begin{equation}
+H=\frac{p^2}{2m}+U(x)
+\label{Ham}
+\end{equation}
+с соответствующими классическими уравнениями движения
+\begin{equation}
+\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x},\quad
+\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p}
+\label{Hameqs}
+\end{equation}
+и квантовым уравнением Шрёдингера
+\begin{equation}
+i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+U\Psi.
+\label{Shreq}
+\end{equation}
+Сделаем замену переменных
+\begin{equation}
+x'=Ax,\quad p'=Bp,\quad t'=Ct,
+\label{norm_main}
+\end{equation}
+где $A$, $B$ и $C$~--- некоторые константы. Найдём для этих новых переменных гамильтониан $H'$, потенциальную энергию $U'$, массу $m'$ и
+постоянную Планка $\hbar'$ исходя из инвариантности уравнений \eqref{Hameqs} и \eqref{Shreq}. Сделаем замену переменных в канонических
+уравнениях \eqref{Hameqs}:
+\begin{equation}
+\frac{C}{B}\frac{dp'}{dt'}=-A\frac{\partial H}{\partial x'},\quad
+\frac{C}{A}\frac{dx'}{dt'}=B\frac{\partial H}{\partial p'}
+\label{repHameqs1}
+\end{equation}
+или
+\begin{equation}
+\frac{dp'}{dt'}=-\frac{\partial\left(\frac{AB}{C}H\right)}{\partial x'},\quad
+\frac{dx'}{dt'}=\frac{\partial\left(\frac{AB}{C}H\right)}{\partial p'},
+\label{repHameqs2}
+\end{equation}
+из чего следует, что $H'=\frac{AB}{C}H$. Применяя этот результат к гамильтониану \eqref{Ham}, получаем
+\begin{equation}
+H'=\frac{AB}{C}\left(\frac{p^2}{2m}+U(x)\right)=\frac{A}{BC}\frac{p'^2}{2m}+\frac{AB}{C}U(x'/A)=
+\frac{p'^2}{2m'}+U'(x'),
+\label{repHam}
+\end{equation}
+где $m'=\frac{BC}{A}m$ и $U'=\frac{AB}{C}U$.
+
+Теперь преобразуем уравнение Шрёдингера \eqref{Shreq}:
+\begin{equation}
+i\hbar C\frac{\partial}{\partial t}\Psi'=-A^2\frac{BC}{A}\frac{\hbar^2}{2m'}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi'+\frac{C}{AB}U'\Psi'
+\label{repShreq1}
+\end{equation}
+или
+\begin{equation}
+iAB\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi'=-\frac{(AB\hbar)^2}{2m'}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi'+U'\Psi',
+\label{repShreq2}
+\end{equation}
+откуда получаем $\hbar'=AB\hbar$. Преобразование для $\Psi'$ может быть найдено из условия нормировки.
+
+Таким образом, мы получаем, что при замене переменных \eqref{norm_main} уравнения \eqref{Hameqs}, \eqref{Shreq} и гамильтониан \eqref{Ham}
+сохраняют свою форму при преобразовании параметров
+\begin{equation}
+m'=\frac{BC}{A}m,\quad U'=\frac{AB}{C}U,\quad \hbar'=AB\hbar.
+\label{norm_params}
+\end{equation}
+
+\section{Исходные уравнения}
+
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+H=\frac{P^2}{2m}-\hbar\frac{\Omega_0^2u^2(x,t)}{\delta},\\
+i\frac{db}{dt}=-\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2b}{\partial X^2}-\frac{\Omega_0^2u^2(X,t)}{\delta}b,\\
+u(X,t)=\sin{kX}-\varepsilon\sin{(kX-\varphi(t))},\\
+\varphi_1(t)=\omega_0t+\frac{bT}{2}\left(\frac{t}{T}\right)^2,\quad
+\varphi_2(t)=\omega_0t-\frac{bT}{4\pi}\sin\frac{2\pi t}{T}.
+\end{gathered}
+\label{main_b}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+u^2(X,t)=-\frac{1}{2}\cos{2kx}-2\varepsilon\sin{kx}\sin{(kx-\varphi(t))}.
+\label{u2}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\omega_r=\frac{\hbar k^2}{2m}=2\pi(1\div100)\cdot10^3\ \text{Гц},\\
+\delta=2\pi(1\div10)\cdot10^9\ \text{Гц},\\
+\Omega_0=2\pi(1\div200)\cdot10^6\ \text{Гц},\\
+\omega_0=2\pi\cdot10^6\ \text{Гц}.
+\end{gathered}
+\end{equation}
+
+\section{Первая нормировка}
+Время и координату нормируем на параметры волны возмущения, нормировку импульса получаем из условия $m'=1$
+\begin{equation}
+A=2k,\quad C=\omega_0,\quad \frac{BC}{A}m=1 \Rightarrow B=\frac{2k}{m\omega_0}.
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+t'=w_0t,\quad x=2kX,\quad p=\frac{2k}{m\omega_0}P,\quad H'=\frac{4k^2}{m\omega_0^2}H.
+\label{norm1}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+H'=\frac{p^2}{2}+Q\cos x+E\sin\frac{x}{2}\sin{\left(\frac{x}{2}-\varphi(t')\right)},\\
+Q=\frac{2\hbar\Omega_0^2k^2}{\delta m\omega_0^2},\quad
+E=\frac{8\hbar\Omega_0^2k^2}{\delta m\omega_0^2}\varepsilon,\\
+\varphi_1(t')=t'+\frac{b'T'}{2}\left(\frac{t'}{T'}\right)^2,\quad
+\varphi_2(t')=t'-\frac{b'T'}{4\pi}\sin\frac{2\pi t'}{T'},\\
+T'=\omega_0T,\quad b'=\frac{b}{\omega_0},\\
+\hbar'=\frac{8\omega_r}{\omega_0}.
+\end{gathered}
+\label{norm1H}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+Q=\frac{4\omega_r\Omega_0^2}{\delta}\frac{1}{\omega_0^2}=10^{-7}\div1,\quad
+\hbar'=10^{-2}\div1.
+\end{equation}
+
+\section{Вторая нормировка}
+Координату нормируем на волновое число возмущения, нормировку для импульса и времени находим из условий $m'=1$ и равенства единице
+коэффициента при $\cos x$
+\begin{equation}
+A=2k,\quad \left\{
+\begin{aligned}
+\frac{BC}{A}m=&1,\\
+\frac{AB}{C}\frac{\hbar\Omega_0^2}{2\delta}=&1,
+\end{aligned}
+\right.\Rightarrow
+B=\sqrt{\frac{2\delta}{\hbar\Omega_0^2m}},\quad
+C=\sqrt{\frac{2k^2\hbar\Omega_0^2}{\delta m}}.
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+t'=\sqrt{\frac{2k^2\hbar\Omega_0^2}{\delta m}}t=\omega_nt,\quad x=2kX,\quad p=\sqrt{\frac{2\delta}{\hbar\Omega_0^2m}}P,\quad H'=\frac{2\delta}{\hbar\Omega_0^2}H.
+\label{norm2}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+H'=\frac{p^2}{2}+\cos x+4\varepsilon\sin\frac{x}{2}\sin{\left(\frac{x}{2}-\varphi(t')\right)},\\
+\varphi_1(t')=\omega't'+\frac{b'T'}{2}\left(\frac{t'}{T'}\right)^2,\quad
+\varphi_2(t')=\omega't'-\frac{b'T'}{4\pi}\sin\frac{2\pi t'}{T'},\\
+\omega'=\frac{\omega_0}{\omega_n},\quad
+T'=\omega_nT,\quad b'=\frac{b}{\omega_n},\\
+\hbar'=4\frac{\sqrt{\delta\omega_r}}{\Omega_0}.
+\end{gathered}
+\label{norm2H}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+\omega_n=\sqrt{\frac{4\Omega_0^2\omega_r}{\delta}}=10^3\div10^6,\quad\omega'=10^3\div1,\quad
+\hbar'=10^{-2}\div10^2.
+\end{equation}
+
+\end{document}