From a30e96425d9565c7d7e620eba920eb48a8fe0144 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Michael Uleysky Date: Fri, 18 Jan 2019 13:43:58 +1000 Subject: [PATCH] Text about normalizing Shredinger equation --- norm.tex | 164 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 164 insertions(+) create mode 100644 norm.tex diff --git a/norm.tex b/norm.tex new file mode 100644 index 0000000..6bd9dc6 --- /dev/null +++ b/norm.tex @@ -0,0 +1,164 @@ +\documentclass[12pt]{article} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[russian]{babel} + +\begin{document} +\section{Линейное преобразование переменных} +Пусть есть гамильтониан +\begin{equation} +H=\frac{p^2}{2m}+U(x) +\label{Ham} +\end{equation} +с соответствующими классическими уравнениями движения +\begin{equation} +\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x},\quad +\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p} +\label{Hameqs} +\end{equation} +и квантовым уравнением Шрёдингера +\begin{equation} +i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+U\Psi. +\label{Shreq} +\end{equation} +Сделаем замену переменных +\begin{equation} +x'=Ax,\quad p'=Bp,\quad t'=Ct, +\label{norm_main} +\end{equation} +где $A$, $B$ и $C$~--- некоторые константы. Найдём для этих новых переменных гамильтониан $H'$, потенциальную энергию $U'$, массу $m'$ и +постоянную Планка $\hbar'$ исходя из инвариантности уравнений \eqref{Hameqs} и \eqref{Shreq}. Сделаем замену переменных в канонических +уравнениях \eqref{Hameqs}: +\begin{equation} +\frac{C}{B}\frac{dp'}{dt'}=-A\frac{\partial H}{\partial x'},\quad +\frac{C}{A}\frac{dx'}{dt'}=B\frac{\partial H}{\partial p'} +\label{repHameqs1} +\end{equation} +или +\begin{equation} +\frac{dp'}{dt'}=-\frac{\partial\left(\frac{AB}{C}H\right)}{\partial x'},\quad +\frac{dx'}{dt'}=\frac{\partial\left(\frac{AB}{C}H\right)}{\partial p'}, +\label{repHameqs2} +\end{equation} +из чего следует, что $H'=\frac{AB}{C}H$. Применяя этот результат к гамильтониану \eqref{Ham}, получаем +\begin{equation} +H'=\frac{AB}{C}\left(\frac{p^2}{2m}+U(x)\right)=\frac{A}{BC}\frac{p'^2}{2m}+\frac{AB}{C}U(x'/A)= +\frac{p'^2}{2m'}+U'(x'), +\label{repHam} +\end{equation} +где $m'=\frac{BC}{A}m$ и $U'=\frac{AB}{C}U$. + +Теперь преобразуем уравнение Шрёдингера \eqref{Shreq}: +\begin{equation} +i\hbar C\frac{\partial}{\partial t}\Psi'=-A^2\frac{BC}{A}\frac{\hbar^2}{2m'}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi'+\frac{C}{AB}U'\Psi' +\label{repShreq1} +\end{equation} +или +\begin{equation} +iAB\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi'=-\frac{(AB\hbar)^2}{2m'}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi'+U'\Psi', +\label{repShreq2} +\end{equation} +откуда получаем $\hbar'=AB\hbar$. Преобразование для $\Psi'$ может быть найдено из условия нормировки. + +Таким образом, мы получаем, что при замене переменных \eqref{norm_main} уравнения \eqref{Hameqs}, \eqref{Shreq} и гамильтониан \eqref{Ham} +сохраняют свою форму при преобразовании параметров +\begin{equation} +m'=\frac{BC}{A}m,\quad U'=\frac{AB}{C}U,\quad \hbar'=AB\hbar. +\label{norm_params} +\end{equation} + +\section{Исходные уравнения} + +\begin{equation} +\begin{gathered} +H=\frac{P^2}{2m}-\hbar\frac{\Omega_0^2u^2(x,t)}{\delta},\\ +i\frac{db}{dt}=-\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2b}{\partial X^2}-\frac{\Omega_0^2u^2(X,t)}{\delta}b,\\ +u(X,t)=\sin{kX}-\varepsilon\sin{(kX-\varphi(t))},\\ +\varphi_1(t)=\omega_0t+\frac{bT}{2}\left(\frac{t}{T}\right)^2,\quad +\varphi_2(t)=\omega_0t-\frac{bT}{4\pi}\sin\frac{2\pi t}{T}. +\end{gathered} +\label{main_b} +\end{equation} + +\begin{equation} +u^2(X,t)=-\frac{1}{2}\cos{2kx}-2\varepsilon\sin{kx}\sin{(kx-\varphi(t))}. +\label{u2} +\end{equation} + +\begin{equation} +\begin{gathered} +\omega_r=\frac{\hbar k^2}{2m}=2\pi(1\div100)\cdot10^3\ \text{Гц},\\ +\delta=2\pi(1\div10)\cdot10^9\ \text{Гц},\\ +\Omega_0=2\pi(1\div200)\cdot10^6\ \text{Гц},\\ +\omega_0=2\pi\cdot10^6\ \text{Гц}. +\end{gathered} +\end{equation} + +\section{Первая нормировка} +Время и координату нормируем на параметры волны возмущения, нормировку импульса получаем из условия $m'=1$ +\begin{equation} +A=2k,\quad C=\omega_0,\quad \frac{BC}{A}m=1 \Rightarrow B=\frac{2k}{m\omega_0}. +\end{equation} + +\begin{equation} +t'=w_0t,\quad x=2kX,\quad p=\frac{2k}{m\omega_0}P,\quad H'=\frac{4k^2}{m\omega_0^2}H. +\label{norm1} +\end{equation} + +\begin{equation} +\begin{gathered} +H'=\frac{p^2}{2}+Q\cos x+E\sin\frac{x}{2}\sin{\left(\frac{x}{2}-\varphi(t')\right)},\\ +Q=\frac{2\hbar\Omega_0^2k^2}{\delta m\omega_0^2},\quad +E=\frac{8\hbar\Omega_0^2k^2}{\delta m\omega_0^2}\varepsilon,\\ +\varphi_1(t')=t'+\frac{b'T'}{2}\left(\frac{t'}{T'}\right)^2,\quad +\varphi_2(t')=t'-\frac{b'T'}{4\pi}\sin\frac{2\pi t'}{T'},\\ +T'=\omega_0T,\quad b'=\frac{b}{\omega_0},\\ +\hbar'=\frac{8\omega_r}{\omega_0}. +\end{gathered} +\label{norm1H} +\end{equation} + +\begin{equation} +Q=\frac{4\omega_r\Omega_0^2}{\delta}\frac{1}{\omega_0^2}=10^{-7}\div1,\quad +\hbar'=10^{-2}\div1. +\end{equation} + +\section{Вторая нормировка} +Координату нормируем на волновое число возмущения, нормировку для импульса и времени находим из условий $m'=1$ и равенства единице +коэффициента при $\cos x$ +\begin{equation} +A=2k,\quad \left\{ +\begin{aligned} +\frac{BC}{A}m=&1,\\ +\frac{AB}{C}\frac{\hbar\Omega_0^2}{2\delta}=&1, +\end{aligned} +\right.\Rightarrow +B=\sqrt{\frac{2\delta}{\hbar\Omega_0^2m}},\quad +C=\sqrt{\frac{2k^2\hbar\Omega_0^2}{\delta m}}. +\end{equation} + +\begin{equation} +t'=\sqrt{\frac{2k^2\hbar\Omega_0^2}{\delta m}}t=\omega_nt,\quad x=2kX,\quad p=\sqrt{\frac{2\delta}{\hbar\Omega_0^2m}}P,\quad H'=\frac{2\delta}{\hbar\Omega_0^2}H. +\label{norm2} +\end{equation} + +\begin{equation} +\begin{gathered} +H'=\frac{p^2}{2}+\cos x+4\varepsilon\sin\frac{x}{2}\sin{\left(\frac{x}{2}-\varphi(t')\right)},\\ +\varphi_1(t')=\omega't'+\frac{b'T'}{2}\left(\frac{t'}{T'}\right)^2,\quad +\varphi_2(t')=\omega't'-\frac{b'T'}{4\pi}\sin\frac{2\pi t'}{T'},\\ +\omega'=\frac{\omega_0}{\omega_n},\quad +T'=\omega_nT,\quad b'=\frac{b}{\omega_n},\\ +\hbar'=4\frac{\sqrt{\delta\omega_r}}{\Omega_0}. +\end{gathered} +\label{norm2H} +\end{equation} + +\begin{equation} +\omega_n=\sqrt{\frac{4\Omega_0^2\omega_r}{\delta}}=10^3\div10^6,\quad\omega'=10^3\div1,\quad +\hbar'=10^{-2}\div10^2. +\end{equation} + +\end{document}