2 changed files with 17078 additions and 0 deletions
@ -0,0 +1,556 @@
|
||||
\documentclass[12pt]{article} |
||||
\usepackage{graphicx} |
||||
\usepackage{color} |
||||
\usepackage[utf8]{inputenc} |
||||
\usepackage[T2A]{fontenc} |
||||
\usepackage[russian]{babel} |
||||
\usepackage{amsmath} |
||||
|
||||
\topmargin=-1.8cm |
||||
\oddsidemargin=-15mm |
||||
\evensidemargin=-15mm |
||||
\textheight=24.5cm |
||||
\textwidth=19cm |
||||
\tolerance=1000 |
||||
|
||||
\parskip=5pt plus 4pt minus 2pt |
||||
\tolerance=9000 |
||||
\DeclareMathOperator{\sech}{sech} |
||||
% |
||||
\begin{document} |
||||
\section{Механизмы разрушения центральной инвариантной кривой, |
||||
условия образования центральной стохастической струи.} |
||||
|
||||
Исследуется модельный поток, состоящий из струи Бикли и двух волн Россби |
||||
с амплитудами $a_1$ и $a_2$. Цель~--- изучение структуры и статистических |
||||
свойств центральной стохастической струи. |
||||
|
||||
Задачи~--- выявление условий разрушения $CIC$ при малой амплитуде |
||||
возмущения, визуализация (анимация) метаморфоз $CIC$ при вариации |
||||
управляющих параметров. |
||||
|
||||
\section{Нормировка} |
||||
Для удобства численного моделирования введём специальную нормировку. |
||||
Функция тока потока с двумя волнами Россби имеет вид: |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\Psi(x,y,t)= |
||||
-U_0 L\tanh{\frac{y}{L}}+ |
||||
a_1 U_0 L \sech^2{\frac{y}{L}}\cos{k_1(x-c_1 t)}+ |
||||
a_2 U_0 L \sech^2{\frac{y}{L}}\cos{k_2(x-c_2 t)}, |
||||
\label{orpsi} |
||||
\end{equation} |
||||
где $L$~---характерная ширина струи, $U_0$~--- максимальная скорость |
||||
в невозмущёной струе, $a_1$, $a_2$, $c_1$, $c_2$, $k_1$, $k_2$~--- |
||||
амплитуды, скорости и волновые числа двух волн Россби. |
||||
Скорости $c_1$ и $c_2$ находятся следующим образом |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
c_{1,2}=\frac{U_0}{3}(1\pm\alpha),\quad\alpha=\sqrt{1-\beta^*},\quad \beta^*=\frac{3L^2\beta}{2U_0} |
||||
\label{c12} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
и связаны с волновыми числами $k_1$, $k_2$ дисперсионным соотношением |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
c_{1,2}=\frac{U_0L^2}{6}k_{1,2}^2. |
||||
\label{disper} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Если поток замкнут в кольцо, обе волны можно характеризовать |
||||
числами $n_1$ и $n_2$ (количество длин волн, укладывающихся на окружность) |
||||
и выразить через них волновые числа и скорости |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
k_{1,2}=\frac{n_{1,2}}{R},\quad c_{1,2}=\frac{U_0Q^2}{6}n_{1,2}^2,\quad Q=\frac{L}{R}, |
||||
\label{n2kc} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
где $R$~--- радиус окружности. Подставляя (\ref{n2kc}) в (\ref{c12}) получаем два уравнения, связывающие $n_{1,2}$ и $Q$, $\alpha$ |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{aligned} |
||||
n_1^2&=\frac{2}{Q^2}(1+\alpha),\\ |
||||
n_2^2&=\frac{2}{Q^2}(1-\alpha). |
||||
\end{aligned} |
||||
\label{aQ2n} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Из (\ref{aQ2n}) нетрудно получить, что |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\alpha=\frac{n_1^2-n_2^2}{n_1^2+n_2^2},\quad \beta^*=1-\alpha^2=\frac{4n_1^2n_2^2}{\left(n_1^2+n_2^2\right)^2}=\frac{3L^2\beta}{2U_0},\quad |
||||
Q^2=\frac{4}{n_1^2+n_2^2}=\frac{L^2}{R^2}. |
||||
\label{n2aQ} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
|
||||
Рассмотрим преобразование переменных вида |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
x'=Ax+Bt,\quad y'=Cy,\quad t'=Dt,\quad \Psi'=\frac{AC}{D}\Psi-\frac{B}{D}y'. |
||||
\label{coordtrans} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Вид преобразования $\Psi$ в $\Psi'$ следует из того, что функция $\Psi'$ должна удовлетворять уравнениям Гамильтона в новых переменных. |
||||
Применим последовательно (для удобства восприятия) преобразования вида (\ref{coordtrans}) к функции тока (\ref{orpsi}) (штрихи опускаем, |
||||
$k_{1,2}$ и $c_{1,2}$ подставляем из (\ref{n2kc})). |
||||
|
||||
Первое преобразование~--- нормировка $y$ (избавляемся от $L$): |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
A=D=1,\quad B=0,\quad C=\frac{1}{L},\\ |
||||
\Psi(x,y,t)= |
||||
-U_0 \tanh{y}+ |
||||
a_1 U_0 \sech^2{y}\cos{\frac{n_1}{R}\left(x-\frac{U_0L^2}{6R^2}n_1^2 t\right)}+ |
||||
a_2 U_0 \sech^2{y}\cos{\frac{n_2}{R}\left(x-\frac{U_0L^2}{6R^2}n_2^2 t\right)}. |
||||
\end{gathered} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
|
||||
Второе преобразование~--- одовременная (чтобы $R$ не вылазило) нормировка $x$ и $t$ (избавляемся от $U_0$): |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
A=\frac{1}{R},\quad B=0,\quad C=1,\quad D=\frac{U_0}{R},\\ |
||||
\Psi(x,y,t)= |
||||
-\tanh{y}+ |
||||
a_1\sech^2{y}\cos{n_1\left(x-\frac{L^2}{6R^2}n_1^2 t\right)}+ |
||||
a_2\sech^2{y}\cos{n_2\left(x-\frac{L^2}{6R^2}n_2^2 t\right)}. |
||||
\end{gathered} |
||||
\label{Psi2} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Подставляя отношение $L/R$ из (\ref{n2aQ}) в (\ref{Psi2}) получаем функцию |
||||
тока, зависящую только от $n_{1,2}$ |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\Psi(x,y,t)= |
||||
-\tanh{y}+ |
||||
a_1\sech^2{y}\cos{n_1\left(x-\frac{2n_1^2}{3(n_1^2+n_2^2)} t\right)}+ |
||||
a_2\sech^2{y}\cos{n_2\left(x-\frac{2n_2^2}{3(n_1^2+n_2^2)} t\right)}. |
||||
\label{Psi2tr} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Следующий шаг~--- приведение дроби $n_1/n_2$ к несократимому виду. |
||||
Пусть $n_1/n_2$~--- сократимая дробь. Тогда |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
n_1=mN_1,\quad n_2=mN_2, |
||||
\label{N12} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
где $m\ne 1$~--- наибольший общий делитель $n_1$ и $n_2$, а |
||||
$N_1/N_2$~--- несократимая дробь. Подставив (\ref{N12}) в (\ref{Psi2tr}), |
||||
получаем |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\Psi(x,y,t)= |
||||
-\tanh{y}+ |
||||
a_1\sech^2{y}\cos{mN_1\left(x-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}+ |
||||
a_2\sech^2{y}\cos{mN_2\left(x-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}. |
||||
\label{Psi2tr2} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
|
||||
Соответственно, третье преобразование~--- избавление от $m$: |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
A=D=m,\quad B=0,\quad C=1,\\ |
||||
\Psi(x,y,t)= |
||||
-\tanh{y}+ |
||||
a_1\sech^2{y}\cos{N_1\left(x-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}+ |
||||
a_2\sech^2{y}\cos{N_2\left(x-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}. |
||||
\end{gathered} |
||||
\label{Psi3} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
|
||||
Последнее преобразование~--- переход в систему отсчёта, движующуюся |
||||
вместе с одной из волн. В какую именно~--- определяется из соотношения |
||||
между амплитудами $a_1$ и $a_2$. Итак, два варианта: |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
A=C=D=1,\quad B_1=-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)},\quad B_2=-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)}\\ |
||||
\Psi_1(x,y,t)= |
||||
-\tanh{y}+ |
||||
a_1\sech^2{y}\cos{N_1 x}+ |
||||
a_2\sech^2{y}\cos{(N_2x+\omega_2t)}+C_2y,\\ |
||||
\Psi_2(x,y,t)= |
||||
-\tanh{y}+ |
||||
a_1\sech^2{y}\cos{(N_1x-\omega_1t)}+ |
||||
a_2\sech^2{y}\cos{N_2 x}+C_1y,\\ |
||||
\omega_1=\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_1,\quad |
||||
\omega_2=\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_2,\quad |
||||
C_1=\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)},\quad |
||||
C_2=\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)}. |
||||
\end{gathered} |
||||
\label{Psie} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
|
||||
Преобразование от (\ref{orpsi}) к (\ref{Psie}) и обратно |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
x'_{1,2}=\frac{mx}{R}-C_{2,1} \frac{mU_0}{R} t,\quad y'=\frac{y}{L},\quad t'=\frac{mU_0}{R}t,\\ |
||||
x=\frac{(x'_{1,2}+C_{2,1} t')R}{m},\quad y=Ly',\quad t=\frac{R}{mU_0}t'. |
||||
\end{gathered} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
|
||||
Два вывода. Во-первых, динамика системы полностью определяется двумя |
||||
контрольными параметрами (не считая амплитуд, конечно) $n_1$ и $n_2$. |
||||
Во-вторых, эти два контрольных параметра определяются аж четырьмя |
||||
физическими параметрами, которые могут меняться в эксперименте. |
||||
Это приводит к большой свободе в выборе $n_1$ и $n_2$. |
||||
|
||||
Для связи с экспериментом нам нужно указать значения |
||||
волновых чисел (определяется геометрия потока) и амплитуды при |
||||
которых происходит тот или иной эффект. Далее экспериментаторы |
||||
подбирают параметры установки (ширина струи, длина канала, |
||||
максимальная скорость сдвигового потока). |
||||
|
||||
Гипотеза: разрушение центральной инвариантной кривой $CIC$ |
||||
(полученной итерациями одной из индикаторных точек системы) при |
||||
минимальной амплитуде возмущения стоит ожидать при определённых |
||||
соотношениях между частотой стационарной системы |
||||
(сдвиговый поток + волна Россби) и частотой возмущения |
||||
(вторая волна Россби). Для проверки гипотезы нам необходимо выбрать |
||||
такую пару $N_1-N_2$, для которой частоты стационарного |
||||
потока и частота возмущения будут равны или кратны. |
||||
|
||||
\section{Стационарная функция тока, особые точки и бифуркации} |
||||
Рассмотрим случай, когда одна из амплитуд $a_1$ или $a_2$ равна нулю. Тогда, одна из функции тока |
||||
в (\ref{Psie}) будет стационарной. Применив нормировку (\ref{coordtrans}) с параметрами $A=D=N_{1,2}$, $B=0$, $C=1$ |
||||
и убрав индексы у переменных ($C_{1,2}$ заменим на маленькую $c$, чтобы не путать с $C$ из (\ref{coordtrans})), |
||||
получаем стационарную функцию тока |
||||
Исходная функция тока |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\Psi=cy-\tanh y+a\sech^2 y\cos x. |
||||
\label{psi_stat} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Стационарные уравнения движения |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
\dot x=\sech^2y\left(1+a\tanh y\cos x\right)-c,\\ |
||||
\dot y=-a\sech^2y\sin x. |
||||
\end{gathered} |
||||
\label{Dyneq_stat} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
|
||||
Для нахождения стационарных точек приравняем нулю правые части системы |
||||
(\ref{Dyneq_stat}). Из второго уравнения сразу получаем, что стационарные |
||||
точки находятся при $x=2\pi n$ и $x=\pi+2\pi n$, где $n$~--- целое число. |
||||
Подставляя $x$ в первое уравнение, получаем |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{aligned} |
||||
\sech^2y\left(1+2a\tanh y\right)-c=&0, &x&=2\pi n,\\ |
||||
\sech^2y\left(1-2a\tanh y\right)-c=&0, &x&=\pi+2\pi n. |
||||
\end{aligned} |
||||
\label{ur_y} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Применив формулу $\sech^2y=1-\tanh^2y$ и обозначив $z=\tanh y$ получаем |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{aligned} |
||||
(1-z^2)(1+2az)-c=&0, &x&=2\pi n,\\ |
||||
(1-z^2)(1-2az)-c=&0, &x&=\pi+2\pi n. |
||||
\end{aligned} |
||||
\label{ur_z} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Корни обеих уравнений совпадают с точностью до знака, так что в дальнейшем |
||||
достаточно рассмотреть только первое уравнение |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
2az^3+z^2-2az+c-1=f(z)=0. |
||||
\label{ur_z_main} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
В силу того, что $f(\pm 1)=c>0$, а $f(0)=c-1<0$ ($c<2/3$, что следует из определения $C_{1,2}$ в (\ref{Psie})), очевидно существование у уравнения (\ref{ur_z_main}) трёх корней. |
||||
\begin{enumerate} |
||||
\item Корень на луче $(-\infty,-1)$. Этот корень не имеет физического смысла, так как из определения $z$ следует, что |
||||
$|z|<1$. |
||||
\item Корень на отрезке $(-1,0)$. |
||||
\item Корень на отрезке $(0,1)$. |
||||
\end{enumerate} |
||||
|
||||
Таким образом, в системе имеется |
||||
четыре стационарных точки. Анализ устойчивости сравнительно громоздок, но прост. При $x=0$ верхняя |
||||
точка неустойчива, нижняя~--- устойчива. При $x=\pi$~--- наоборот. |
||||
Анализ сепаратрис не удался, но численно определить кривую, на которой |
||||
происходит бифуркация перестройки сепаратрис вполне возможно. |
||||
% |
||||
\begin{figure}[!htb] |
||||
\begin{center} |
||||
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{ccrit.eps} |
||||
\caption{Диаграмма состояний системы на плоскости $a$~-- $c$. |
||||
Зона I~--- гетероклинические сепаратрисы. |
||||
Зона II~--- гомоклинические сепаратрисы.} |
||||
\end{center} |
||||
\label{phase_diag} |
||||
\end{figure} |
||||
% |
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Анализ резонансных условий} |
||||
|
||||
Проведём аналитическую оценку значений частот стационарной системы и |
||||
возмущения, удовлетворяющих условию баллистического резонанса. |
||||
Стационарная система~--- это течение созданное сдвиговым потоком и |
||||
одной из волн Россби. Рассмотрим случай когда $a_1>a_2$ |
||||
(напомним, что в принятой нормировке $N_1>N_2$), т.~е. вторая |
||||
волна является возмущением: |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
\frac{d x_1}{d t}=-C_2+\sech^2{y}[1+2 a_1\tanh{y}\cos{N_1 x}+ |
||||
2 a_2\tanh{y}\cos{(N_2 x+\omega_2 t)}],\\ |
||||
\frac{d y_1}{d t}=-\sech^2{y}[a_1 N_1\sin{N_1 x}+ |
||||
a_2 N_2\sin{(N_2 x+\omega_2 t)}]. |
||||
\end{gathered} |
||||
\label{system} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
|
||||
Исходя из поставленной задачи~--- определение условий |
||||
разрушения центральной инвариантной кривой, интерес представляет |
||||
центральная часть стационарного потока. Грубая оценка |
||||
(при $a_1\approx 0$) максимальной зональной скорости в указанной области |
||||
потока получается из уравнений адвекции (\ref{system}): |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
\frac{d x_1}{d t}=-C_2+1. |
||||
\end{gathered} |
||||
\label{velos} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Соответственно, максимальная частота $f_{1}=-C_2+1$. |
||||
Условие баллистического резонанса для центральной области имеет вид\footnote{Michael: Упрости выражение.}: |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
\frac{f_{1}}{\omega_2}=(1-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)})/ |
||||
(\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_2)=k_1. |
||||
\end{gathered} |
||||
\label{rez} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
|
||||
Для случая $a_1<a_2$, т.~е. первая волна является возмущением: |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
\frac{d x_2}{d t}=-C_1+\sech^2{y}[1+2 a_1\tanh{y}\cos{(N_1 x-\omega_1 t)}+ |
||||
2 a_2\tanh{y}\cos{N_2 x}],\\ |
||||
\frac{d y_2}{d t}=-\sech^2{y}[a_1 N_1\sin{(N_1 x-\omega_1 t)}+ |
||||
a_2 N_2\sin{N_2 x}]. |
||||
\end{gathered} |
||||
\label{system1} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Грубая оценка (при $a_2\approx 0$) максимальной зональной скорости: |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
\frac{d x_2}{d t}=-C_1+1. |
||||
\end{gathered} |
||||
\label{velos1} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Соответственно, максимальная частота $f_{2}=-C_1+1$. |
||||
Условие баллистического резонанса для центральной области имеет вид\footnote{Michael: Упрости выражение.}: |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
\frac{f_{2}}{\omega_1}=(1-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)})/ |
||||
(\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_1)=k_2. |
||||
\end{gathered} |
||||
\label{rez1s} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
На рис.~\ref{kk0.5} приведены диаграммы функций $k_1(N_1,N_2)$ и $k_2(N_1,N_2)$, |
||||
которые будут полезны при выборе $N1$ и $N2$, и анализе |
||||
результатов численного моделирования адвекции. |
||||
% |
||||
\begin{figure}[!htb] |
||||
\begin{center} |
||||
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k105.eps} |
||||
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k205.eps} |
||||
\caption{$k1=k2=0.5$.} |
||||
\end{center} |
||||
\label{kk0.5} |
||||
\end{figure} |
||||
% |
||||
% |
||||
\begin{figure}[!htb] |
||||
\begin{center} |
||||
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k11.eps} |
||||
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k21.eps} |
||||
\caption{$k1=k2=1.0$.} |
||||
\end{center} |
||||
\label{kk1} |
||||
\end{figure} |
||||
% |
||||
% |
||||
\begin{figure}[!htb] |
||||
\begin{center} |
||||
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k115.eps} |
||||
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k215.eps} |
||||
\caption{$k1=k2=1.5$.} |
||||
\end{center} |
||||
\label{kk1.5} |
||||
\end{figure} |
||||
% |
||||
% |
||||
\begin{figure}[!htb] |
||||
\begin{center} |
||||
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k12.eps} |
||||
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k22.eps} |
||||
\caption{$k1=k2=2$.} |
||||
\end{center} |
||||
\label{kk2} |
||||
\end{figure} |
||||
% |
||||
|
||||
Если отношение $N_1/N_2$ сократимо на некототорое число $m$, то истинный порядок резонанса не $k$, а $mk$. |
||||
Порядок резонанса определяется отношением $f$ к $\omega$. Для кратных $N_{1,2}$ $f$ в $m$ раз больше, чем |
||||
$1-C$, так как истинная длина фрейма (та длина, на которую укладывается целое число длин обеих волн) равна |
||||
$2\pi/m$, а не $2\pi$. То есть $f_\text{true}=mf$, $k_\text{true}=f_\text{true}/\omega$ и, следовательно, |
||||
$k_\text{true}=mk$\footnote{Michael: Проверь это по графикам.}. Так как $k$ инвариантно относительно преобразования |
||||
(\ref{Psi3}), то при пользовании графиками для кратных $N_{1,2}$ нужно смотреть график для сокращённых $N_{1,2}$, но |
||||
при в $m$ раз большем $k$\footnote{Michael: Ну, надеюсь, понятно.}. |
||||
|
||||
При нечётных $N_1$ и $N_2$ уравнения движения (\ref{system}), (\ref{system1}) имеют симметрию |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\hat S:\left\{ |
||||
\begin{aligned} |
||||
x'&=\pi+x,\\ |
||||
y'&=-y |
||||
\end{aligned}\right. |
||||
\label{*} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
и time reversal симметрию |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\hat I_0:\left\{ |
||||
\begin{aligned} |
||||
x'&=-x,\\ |
||||
y'&=y. |
||||
\end{aligned}\right. |
||||
\label{**} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Эти симметрии являются инволюциями, т.~е. $\hat S^2=1$ and $\hat I_0^2=1$. |
||||
Решая уравнение |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\hat I_0(x_j, y_j)=\hat S(x_j, y_j), |
||||
\label{ind1} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
где $j$ номер индикаторной точки, находим координаты индикаторных точек, |
||||
итерации которых позволяют построить центральную инвариантную кривую: |
||||
($x_1=\pi/2$, $y_1=0$) and ($x_2=3\pi/2$, $y_2=0$). |
||||
|
||||
\subsection{Диаграммы параметров} |
||||
|
||||
Для набора пар нечётных волновых чисел ($N_1-N_2$, $N_1>N_2$, |
||||
$N_1,N_2\in[1,11]$) построены диаграммы характеристик |
||||
$CIC$ в зависимости от амплитуд волн Россби. |
||||
Нечётные значения $N_1-N_2$ рассматриваются из-за особенностей |
||||
численного алгоритма, основанного на свойствах симметрии потока. |
||||
На диаграммах хорошо различима граница разрушения (``критическая граница'') |
||||
$CIC$. Критерием окончания счёта каждой из диаграмм является достижение в |
||||
численном эксперименте максимального времени счёта $t_{max}=5000$ периодов |
||||
возмущения. Т.е. счёт не прекращается даже если $CIC$ разрушена - таким |
||||
образом, на выходе мы получаем информацию о свойствах центральной |
||||
хаотической струи. Центральная хаотическая струя - область центрального |
||||
потока, образующаяся на месте разрушенной $CIC$ и окружавших её инвариантных |
||||
кривых. О существовании центральной хаотической струи стоит рассуждать |
||||
когда мы находимся далеко от границ разрушения $CIC$ на приведённых |
||||
диаграммах. |
||||
|
||||
В обозначениях файлов: $L$ - длина $CIC$; $y_{max}$ - модуль максимального |
||||
отклонения $CIC$ (высота горба); $d$ - площадь центральной стохастической |
||||
струи (область потока которую заметают точки сечения Пуанкаре |
||||
разрушенной $CIC$); $wind number$ - число обращений |
||||
(= (число фреймов)/(число периодов возмущения)). |
||||
|
||||
Предварительный анализ диаграмм чисел обращения указывает, что в допустимом |
||||
интервале значений амплитуд волн Россби (при больших значениях происходит |
||||
изменение топологии потока) спайки (т.е. разрушение $CIC$) наблюдаются при |
||||
пересоединении многообразий полуцелых резонансов. Подтверждением этого |
||||
служит тот факт, что $wind number$ у спайков на всех приведённых картах |
||||
меньше единицы и находятся в интервале значений $[0.7:0.3]$. |
||||
Т.о. резонансное разрушение $CIC$ крайне чувствительно к выбору |
||||
амплитуд и волновых чисел. |
||||
|
||||
Рассмотрим случай $5-1$. |
||||
Диаграммы параметров: $5_1L.bmp, 5_1y.bmp, 5_1wind number.bmp$. |
||||
На последней диаграмме хорошо разрешим спайк при $a_1=[0.23:0.25]$, и |
||||
амплитуде возмущения $a_2=0.1$ и с числом вращения ~[0.4:0.45]. |
||||
На рис. $line_51.eps$, приведён срез диаграмм для $a_1=[0.23:0.27]$, |
||||
$a_2=0.1$. Далее строится сечение Пуанкаре для параметров при которых |
||||
разрушена $CIC$ (см. рис.$5_1pu$ ) $a_1=0.2415$, $a_2=0.1$. Синие точки |
||||
следы баллистических (относительно выбранной системы отсчёта) траекторий, |
||||
зелёные - хаотических, красные осцилляторных, чётные точки - следы |
||||
хаотической траектории с НУ $CIC$ (индикаторная точка). |
||||
На рис. $5_1wind.eps$ (верхняя панель) приведён профиль числа обращения |
||||
для отрезка $x=0.6$, $y=[-0.9:-0.3]$ ($a_1=0.2415$, $a_2=0.1$). |
||||
Синие точки соответствуют начальным траекториям с НУ попавшими на остров |
||||
баллистического резонанса $7:3$ ($wind number = 3/7$ - частица в острове |
||||
пролетает 3 фрейма за 7 периодов возмущения) вблизи $CIC$. |
||||
На рис.$5_1freqmap.bmp$ приведена частотная карта стационарного |
||||
потока ($a_2=0$, $a_1=0.2415$). |
||||
На рис. $5_1pupoint.eps$ - приведёно сечение Пуанкаре (жирные точки) |
||||
и траектория для частицы (зелёная кривая) с НУ на острове баллистического |
||||
резонанса $7:3$. |
||||
На сечениях Пуанкаре рис. $5_1CIC.eps$ и $5_1CIC_reconnection.eps$ |
||||
показаны метаморфозы $CIC$ и близких инвариантных кривых при пересоединении |
||||
многообразий островов баллистического резонанса $7:3$. |
||||
|
||||
Вывод: показано что разрушение $CIC$ (как транспортного барьера) возможно |
||||
при малых амплитудах возмущения ($a_1>a_2$ и $N_1>N_2$). |
||||
Причина разрушения - резонансный характер взаимодействия стационарной |
||||
системы (сдвиговый поток + волна Россби) и внешнего возмущения |
||||
(вторая волна Россби). Такое разрушение наблюдается не для всех пар |
||||
$N_1$ и $N_2$, т.к. частоты стационарной системы и возмущения зависят от |
||||
$N_1$ и $N_2$. + указать наиболее удачные пары и амплитуды. |
||||
|
||||
Для наблюдения разрушения $CIC$ и пересоединения многообразий в |
||||
эксперименте необходимо, например, создать поток с $N_1=5$ и $N_2=1$ |
||||
и амплитудами волн $a_1=[0.24, 0.244]$ и $a_2=0.1$. При вариации амплитуды |
||||
первой волны в указанном диапазоне значений на фотографиях ожидаются |
||||
изображения подобные на рис. $5_1CIC.eps$ и $5_1CICreconnection.eps$. |
||||
Важно отметить, что наши результаты применимы для интерпретации |
||||
эксперимента лишь, тогда, когда применимо уравнение Релея-Куо |
||||
для описания динамики потока. Остаётся открытым технический вопрос |
||||
о визуализации центральной стохастической струи. |
||||
|
||||
Дальнейшее исследование направлено на изучение топологии центральной |
||||
стохастической струи (расчёт её площади в зависимости от амплитуд волн). |
||||
Интерес представляет неоднородная окраска областей разрушенной $CIC$ на |
||||
$L$ и $d$-диаграммах. Также планируется исследование потоков с чётно-нечётными |
||||
парами волновых чисел. |
||||
Анализ площадей - |
||||
Чётно-нечётные пары - граница перехода, СП, связь с аналитической |
||||
оценкой резонансных условий. |
||||
|
||||
+ ? бифуркации стох. слоя. |
||||
|
||||
\end{document} |
||||
|
||||
Loading…
Reference in new issue