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2pt +\tolerance=9000 +\DeclareMathOperator{\sech}{sech} +% +\begin{document} +\section{Механизмы разрушения центральной инвариантной кривой, +условия образования центральной стохастической струи.} + +Исследуется модельный поток, состоящий из струи Бикли и двух волн Россби +с амплитудами $a_1$ и $a_2$. Цель~--- изучение структуры и статистических +свойств центральной стохастической струи. + +Задачи~--- выявление условий разрушения $CIC$ при малой амплитуде +возмущения, визуализация (анимация) метаморфоз $CIC$ при вариации +управляющих параметров. + +\section{Нормировка} +Для удобства численного моделирования введём специальную нормировку. +Функция тока потока с двумя волнами Россби имеет вид: +% +\begin{equation} +\Psi(x,y,t)= +-U_0 L\tanh{\frac{y}{L}}+ +a_1 U_0 L \sech^2{\frac{y}{L}}\cos{k_1(x-c_1 t)}+ +a_2 U_0 L \sech^2{\frac{y}{L}}\cos{k_2(x-c_2 t)}, +\label{orpsi} +\end{equation} +где $L$~---характерная ширина струи, $U_0$~--- максимальная скорость +в невозмущёной струе, $a_1$, $a_2$, $c_1$, $c_2$, $k_1$, $k_2$~--- +амплитуды, скорости и волновые числа двух волн Россби. +Скорости $c_1$ и $c_2$ находятся следующим образом +% +\begin{equation} +c_{1,2}=\frac{U_0}{3}(1\pm\alpha),\quad\alpha=\sqrt{1-\beta^*},\quad \beta^*=\frac{3L^2\beta}{2U_0} +\label{c12} +\end{equation} +% +и связаны с волновыми числами $k_1$, $k_2$ дисперсионным соотношением +% +\begin{equation} +c_{1,2}=\frac{U_0L^2}{6}k_{1,2}^2. +\label{disper} +\end{equation} +% +Если поток замкнут в кольцо, обе волны можно характеризовать +числами $n_1$ и $n_2$ (количество длин волн, укладывающихся на окружность) +и выразить через них волновые числа и скорости +% +\begin{equation} +k_{1,2}=\frac{n_{1,2}}{R},\quad c_{1,2}=\frac{U_0Q^2}{6}n_{1,2}^2,\quad Q=\frac{L}{R}, +\label{n2kc} +\end{equation} +% +где $R$~--- радиус окружности. Подставляя (\ref{n2kc}) в (\ref{c12}) получаем два уравнения, связывающие $n_{1,2}$ и $Q$, $\alpha$ +% +\begin{equation} +\begin{aligned} +n_1^2&=\frac{2}{Q^2}(1+\alpha),\\ +n_2^2&=\frac{2}{Q^2}(1-\alpha). +\end{aligned} +\label{aQ2n} +\end{equation} +% +Из (\ref{aQ2n}) нетрудно получить, что +% +\begin{equation} +\alpha=\frac{n_1^2-n_2^2}{n_1^2+n_2^2},\quad \beta^*=1-\alpha^2=\frac{4n_1^2n_2^2}{\left(n_1^2+n_2^2\right)^2}=\frac{3L^2\beta}{2U_0},\quad +Q^2=\frac{4}{n_1^2+n_2^2}=\frac{L^2}{R^2}. +\label{n2aQ} +\end{equation} +% + +Рассмотрим преобразование переменных вида +% +\begin{equation} +x'=Ax+Bt,\quad y'=Cy,\quad t'=Dt,\quad \Psi'=\frac{AC}{D}\Psi-\frac{B}{D}y'. +\label{coordtrans} +\end{equation} +% +Вид преобразования $\Psi$ в $\Psi'$ следует из того, что функция $\Psi'$ должна удовлетворять уравнениям Гамильтона в новых переменных. +Применим последовательно (для удобства восприятия) преобразования вида (\ref{coordtrans}) к функции тока (\ref{orpsi}) (штрихи опускаем, +$k_{1,2}$ и $c_{1,2}$ подставляем из (\ref{n2kc})). + +Первое преобразование~--- нормировка $y$ (избавляемся от $L$): +% +\begin{equation} +\begin{gathered} +A=D=1,\quad B=0,\quad C=\frac{1}{L},\\ +\Psi(x,y,t)= +-U_0 \tanh{y}+ +a_1 U_0 \sech^2{y}\cos{\frac{n_1}{R}\left(x-\frac{U_0L^2}{6R^2}n_1^2 t\right)}+ +a_2 U_0 \sech^2{y}\cos{\frac{n_2}{R}\left(x-\frac{U_0L^2}{6R^2}n_2^2 t\right)}. +\end{gathered} +\end{equation} +% + +Второе преобразование~--- одовременная (чтобы $R$ не вылазило) нормировка $x$ и $t$ (избавляемся от $U_0$): +% +\begin{equation} +\begin{gathered} +A=\frac{1}{R},\quad B=0,\quad C=1,\quad D=\frac{U_0}{R},\\ +\Psi(x,y,t)= +-\tanh{y}+ +a_1\sech^2{y}\cos{n_1\left(x-\frac{L^2}{6R^2}n_1^2 t\right)}+ +a_2\sech^2{y}\cos{n_2\left(x-\frac{L^2}{6R^2}n_2^2 t\right)}. +\end{gathered} +\label{Psi2} +\end{equation} +% +Подставляя отношение $L/R$ из (\ref{n2aQ}) в (\ref{Psi2}) получаем функцию +тока, зависящую только от $n_{1,2}$ +% +\begin{equation} +\Psi(x,y,t)= +-\tanh{y}+ +a_1\sech^2{y}\cos{n_1\left(x-\frac{2n_1^2}{3(n_1^2+n_2^2)} t\right)}+ +a_2\sech^2{y}\cos{n_2\left(x-\frac{2n_2^2}{3(n_1^2+n_2^2)} t\right)}. +\label{Psi2tr} +\end{equation} +% +Следующий шаг~--- приведение дроби $n_1/n_2$ к несократимому виду. +Пусть $n_1/n_2$~--- сократимая дробь. Тогда +% +\begin{equation} +n_1=mN_1,\quad n_2=mN_2, +\label{N12} +\end{equation} +% +где $m\ne 1$~--- наибольший общий делитель $n_1$ и $n_2$, а +$N_1/N_2$~--- несократимая дробь. Подставив (\ref{N12}) в (\ref{Psi2tr}), +получаем +% +\begin{equation} +\Psi(x,y,t)= +-\tanh{y}+ +a_1\sech^2{y}\cos{mN_1\left(x-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}+ +a_2\sech^2{y}\cos{mN_2\left(x-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}. +\label{Psi2tr2} +\end{equation} +% + +Соответственно, третье преобразование~--- избавление от $m$: +% +\begin{equation} +\begin{gathered} +A=D=m,\quad B=0,\quad C=1,\\ +\Psi(x,y,t)= +-\tanh{y}+ +a_1\sech^2{y}\cos{N_1\left(x-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}+ +a_2\sech^2{y}\cos{N_2\left(x-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}. +\end{gathered} +\label{Psi3} +\end{equation} +% + +Последнее преобразование~--- переход в систему отсчёта, движующуюся +вместе с одной из волн. В какую именно~--- определяется из соотношения +между амплитудами $a_1$ и $a_2$. Итак, два варианта: +% +\begin{equation} +\begin{gathered} +A=C=D=1,\quad B_1=-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)},\quad B_2=-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)}\\ +\Psi_1(x,y,t)= +-\tanh{y}+ +a_1\sech^2{y}\cos{N_1 x}+ +a_2\sech^2{y}\cos{(N_2x+\omega_2t)}+C_2y,\\ +\Psi_2(x,y,t)= +-\tanh{y}+ +a_1\sech^2{y}\cos{(N_1x-\omega_1t)}+ +a_2\sech^2{y}\cos{N_2 x}+C_1y,\\ +\omega_1=\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_1,\quad +\omega_2=\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_2,\quad +C_1=\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)},\quad +C_2=\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)}. +\end{gathered} +\label{Psie} +\end{equation} +% + +Преобразование от (\ref{orpsi}) к (\ref{Psie}) и обратно +% +\begin{equation} +\begin{gathered} +x'_{1,2}=\frac{mx}{R}-C_{2,1} \frac{mU_0}{R} t,\quad y'=\frac{y}{L},\quad t'=\frac{mU_0}{R}t,\\ +x=\frac{(x'_{1,2}+C_{2,1} t')R}{m},\quad y=Ly',\quad t=\frac{R}{mU_0}t'. +\end{gathered} +\end{equation} +% + +Два вывода. Во-первых, динамика системы полностью определяется двумя +контрольными параметрами (не считая амплитуд, конечно) $n_1$ и $n_2$. +Во-вторых, эти два контрольных параметра определяются аж четырьмя +физическими параметрами, которые могут меняться в эксперименте. +Это приводит к большой свободе в выборе $n_1$ и $n_2$. + +Для связи с экспериментом нам нужно указать значения +волновых чисел (определяется геометрия потока) и амплитуды при +которых происходит тот или иной эффект. Далее экспериментаторы +подбирают параметры установки (ширина струи, длина канала, +максимальная скорость сдвигового потока). + +Гипотеза: разрушение центральной инвариантной кривой $CIC$ +(полученной итерациями одной из индикаторных точек системы) при +минимальной амплитуде возмущения стоит ожидать при определённых +соотношениях между частотой стационарной системы +(сдвиговый поток + волна Россби) и частотой возмущения +(вторая волна Россби). Для проверки гипотезы нам необходимо выбрать +такую пару $N_1-N_2$, для которой частоты стационарного +потока и частота возмущения будут равны или кратны. + +\section{Стационарная функция тока, особые точки и бифуркации} +Рассмотрим случай, когда одна из амплитуд $a_1$ или $a_2$ равна нулю. Тогда, одна из функции тока +в (\ref{Psie}) будет стационарной. Применив нормировку (\ref{coordtrans}) с параметрами $A=D=N_{1,2}$, $B=0$, $C=1$ +и убрав индексы у переменных ($C_{1,2}$ заменим на маленькую $c$, чтобы не путать с $C$ из (\ref{coordtrans})), +получаем стационарную функцию тока +Исходная функция тока +% +\begin{equation} +\Psi=cy-\tanh y+a\sech^2 y\cos x. +\label{psi_stat} +\end{equation} +% +Стационарные уравнения движения +% +\begin{equation} +\begin{gathered} +\dot x=\sech^2y\left(1+a\tanh y\cos x\right)-c,\\ +\dot y=-a\sech^2y\sin x. +\end{gathered} +\label{Dyneq_stat} +\end{equation} +% + +Для нахождения стационарных точек приравняем нулю правые части системы +(\ref{Dyneq_stat}). Из второго уравнения сразу получаем, что стационарные +точки находятся при $x=2\pi n$ и $x=\pi+2\pi n$, где $n$~--- целое число. +Подставляя $x$ в первое уравнение, получаем +% +\begin{equation} +\begin{aligned} +\sech^2y\left(1+2a\tanh y\right)-c=&0, &x&=2\pi n,\\ +\sech^2y\left(1-2a\tanh y\right)-c=&0, &x&=\pi+2\pi n. +\end{aligned} +\label{ur_y} +\end{equation} +% +Применив формулу $\sech^2y=1-\tanh^2y$ и обозначив $z=\tanh y$ получаем +% +\begin{equation} +\begin{aligned} +(1-z^2)(1+2az)-c=&0, &x&=2\pi n,\\ +(1-z^2)(1-2az)-c=&0, &x&=\pi+2\pi n. +\end{aligned} +\label{ur_z} +\end{equation} +% +Корни обеих уравнений совпадают с точностью до знака, так что в дальнейшем +достаточно рассмотреть только первое уравнение +% +\begin{equation} +2az^3+z^2-2az+c-1=f(z)=0. +\label{ur_z_main} +\end{equation} +% +В силу того, что $f(\pm 1)=c>0$, а $f(0)=c-1<0$ ($c<2/3$, что следует из определения $C_{1,2}$ в (\ref{Psie})), очевидно существование у уравнения (\ref{ur_z_main}) трёх корней. +\begin{enumerate} +\item Корень на луче $(-\infty,-1)$. Этот корень не имеет физического смысла, так как из определения $z$ следует, что +$|z|<1$. +\item Корень на отрезке $(-1,0)$. +\item Корень на отрезке $(0,1)$. +\end{enumerate} + +Таким образом, в системе имеется +четыре стационарных точки. Анализ устойчивости сравнительно громоздок, но прост. При $x=0$ верхняя +точка неустойчива, нижняя~--- устойчива. При $x=\pi$~--- наоборот. +Анализ сепаратрис не удался, но численно определить кривую, на которой +происходит бифуркация перестройки сепаратрис вполне возможно. +% +\begin{figure}[!htb] +\begin{center} +\includegraphics[width=0.8\textwidth]{ccrit.eps} +\caption{Диаграмма состояний системы на плоскости $a$~-- $c$. +Зона I~--- гетероклинические сепаратрисы. +Зона II~--- гомоклинические сепаратрисы.} +\end{center} +\label{phase_diag} +\end{figure} +% + + +\subsection{Анализ резонансных условий} + +Проведём аналитическую оценку значений частот стационарной системы и +возмущения, удовлетворяющих условию баллистического резонанса. +Стационарная система~--- это течение созданное сдвиговым потоком и +одной из волн Россби. Рассмотрим случай когда $a_1>a_2$ +(напомним, что в принятой нормировке $N_1>N_2$), т.~е. вторая +волна является возмущением: +% +\begin{equation} +\begin{gathered} +\frac{d x_1}{d t}=-C_2+\sech^2{y}[1+2 a_1\tanh{y}\cos{N_1 x}+ +2 a_2\tanh{y}\cos{(N_2 x+\omega_2 t)}],\\ +\frac{d y_1}{d t}=-\sech^2{y}[a_1 N_1\sin{N_1 x}+ +a_2 N_2\sin{(N_2 x+\omega_2 t)}]. +\end{gathered} +\label{system} +\end{equation} +% + +Исходя из поставленной задачи~--- определение условий +разрушения центральной инвариантной кривой, интерес представляет +центральная часть стационарного потока. Грубая оценка +(при $a_1\approx 0$) максимальной зональной скорости в указанной области +потока получается из уравнений адвекции (\ref{system}): +% +\begin{equation} +\begin{gathered} +\frac{d x_1}{d t}=-C_2+1. +\end{gathered} +\label{velos} +\end{equation} +% +Соответственно, максимальная частота $f_{1}=-C_2+1$. +Условие баллистического резонанса для центральной области имеет вид\footnote{Michael: Упрости выражение.}: +% +\begin{equation} +\begin{gathered} +\frac{f_{1}}{\omega_2}=(1-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)})/ +(\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_2)=k_1. +\end{gathered} +\label{rez} +\end{equation} +% + +Для случая $a_1N_2$, +$N_1,N_2\in[1,11]$) построены диаграммы характеристик +$CIC$ в зависимости от амплитуд волн Россби. +Нечётные значения $N_1-N_2$ рассматриваются из-за особенностей +численного алгоритма, основанного на свойствах симметрии потока. +На диаграммах хорошо различима граница разрушения (``критическая граница'') +$CIC$. Критерием окончания счёта каждой из диаграмм является достижение в +численном эксперименте максимального времени счёта $t_{max}=5000$ периодов +возмущения. Т.е. счёт не прекращается даже если $CIC$ разрушена - таким +образом, на выходе мы получаем информацию о свойствах центральной +хаотической струи. Центральная хаотическая струя - область центрального +потока, образующаяся на месте разрушенной $CIC$ и окружавших её инвариантных +кривых. О существовании центральной хаотической струи стоит рассуждать +когда мы находимся далеко от границ разрушения $CIC$ на приведённых +диаграммах. + +В обозначениях файлов: $L$ - длина $CIC$; $y_{max}$ - модуль максимального +отклонения $CIC$ (высота горба); $d$ - площадь центральной стохастической +струи (область потока которую заметают точки сечения Пуанкаре +разрушенной $CIC$); $wind number$ - число обращений +(= (число фреймов)/(число периодов возмущения)). + +Предварительный анализ диаграмм чисел обращения указывает, что в допустимом +интервале значений амплитуд волн Россби (при больших значениях происходит +изменение топологии потока) спайки (т.е. разрушение $CIC$) наблюдаются при +пересоединении многообразий полуцелых резонансов. Подтверждением этого +служит тот факт, что $wind number$ у спайков на всех приведённых картах +меньше единицы и находятся в интервале значений $[0.7:0.3]$. +Т.о. резонансное разрушение $CIC$ крайне чувствительно к выбору +амплитуд и волновых чисел. + +Рассмотрим случай $5-1$. +Диаграммы параметров: $5_1L.bmp, 5_1y.bmp, 5_1wind number.bmp$. +На последней диаграмме хорошо разрешим спайк при $a_1=[0.23:0.25]$, и +амплитуде возмущения $a_2=0.1$ и с числом вращения ~[0.4:0.45]. +На рис. $line_51.eps$, приведён срез диаграмм для $a_1=[0.23:0.27]$, +$a_2=0.1$. Далее строится сечение Пуанкаре для параметров при которых +разрушена $CIC$ (см. рис.$5_1pu$ ) $a_1=0.2415$, $a_2=0.1$. Синие точки +следы баллистических (относительно выбранной системы отсчёта) траекторий, +зелёные - хаотических, красные осцилляторных, чётные точки - следы +хаотической траектории с НУ $CIC$ (индикаторная точка). +На рис. $5_1wind.eps$ (верхняя панель) приведён профиль числа обращения +для отрезка $x=0.6$, $y=[-0.9:-0.3]$ ($a_1=0.2415$, $a_2=0.1$). +Синие точки соответствуют начальным траекториям с НУ попавшими на остров +баллистического резонанса $7:3$ ($wind number = 3/7$ - частица в острове +пролетает 3 фрейма за 7 периодов возмущения) вблизи $CIC$. +На рис.$5_1freqmap.bmp$ приведена частотная карта стационарного +потока ($a_2=0$, $a_1=0.2415$). +На рис. $5_1pupoint.eps$ - приведёно сечение Пуанкаре (жирные точки) +и траектория для частицы (зелёная кривая) с НУ на острове баллистического +резонанса $7:3$. +На сечениях Пуанкаре рис. $5_1CIC.eps$ и $5_1CIC_reconnection.eps$ +показаны метаморфозы $CIC$ и близких инвариантных кривых при пересоединении +многообразий островов баллистического резонанса $7:3$. + +Вывод: показано что разрушение $CIC$ (как транспортного барьера) возможно +при малых амплитудах возмущения ($a_1>a_2$ и $N_1>N_2$). +Причина разрушения - резонансный характер взаимодействия стационарной +системы (сдвиговый поток + волна Россби) и внешнего возмущения +(вторая волна Россби). Такое разрушение наблюдается не для всех пар +$N_1$ и $N_2$, т.к. частоты стационарной системы и возмущения зависят от +$N_1$ и $N_2$. + указать наиболее удачные пары и амплитуды. + +Для наблюдения разрушения $CIC$ и пересоединения многообразий в +эксперименте необходимо, например, создать поток с $N_1=5$ и $N_2=1$ +и амплитудами волн $a_1=[0.24, 0.244]$ и $a_2=0.1$. При вариации амплитуды +первой волны в указанном диапазоне значений на фотографиях ожидаются +изображения подобные на рис. $5_1CIC.eps$ и $5_1CICreconnection.eps$. +Важно отметить, что наши результаты применимы для интерпретации +эксперимента лишь, тогда, когда применимо уравнение Релея-Куо +для описания динамики потока. Остаётся открытым технический вопрос +о визуализации центральной стохастической струи. + +Дальнейшее исследование направлено на изучение топологии центральной +стохастической струи (расчёт её площади в зависимости от амплитуд волн). +Интерес представляет неоднородная окраска областей разрушенной $CIC$ на +$L$ и $d$-диаграммах. Также планируется исследование потоков с чётно-нечётными +парами волновых чисел. +Анализ площадей - +Чётно-нечётные пары - граница перехода, СП, связь с аналитической +оценкой резонансных условий. + ++ ? бифуркации стох. слоя. + +\end{document} +