Text about meandering system

Meandr_Stability/meandr.tex

@@ -0,0 +1,570 @@
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{mathptmx}
+\renewcommand{\rmdefault}{cmr}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage{indentfirst}
+\usepackage[russian]{babel}
+
+\topmargin=-1.8cm
+\oddsidemargin=-5mm
+\evensidemargin=-5mm
+\textheight=24.5cm
+\textwidth=18cm
+
+\tolerance=700
+
+\renewcommand{\le}{\leqslant}
+\renewcommand{\ge}{\geqslant}
+\renewcommand{\phi}{\varphi}
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
+\DeclareMathOperator{\arccosh}{arccosh}
+
+\parindent=0cm
+
+\begin{document}
+\section{Постановка задачи и вывод исходных уравнений движения}
+Исходная функция тока:
+%
+\begin{equation}
+\psi'(x',y',t)=-\psi_0\th{\left(\frac{y'-a\cos{k(x'-ct)}}{\lambda\sqrt{1+k^2a^2\sin^2{k(x'-ct)}} } \right)}.
+\label{Psi_origin}
+\end{equation}
+%
+Введём следующие обозначения
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\phi'(x',t)=k(x'-ct),\quad
+q'(x',y',t)=y'-a\cos\phi'(x',t),\quad
+p'(x',t)=1+k^2a^2\sin^2\phi'(x',t),\\
+\theta'(x',y',t)=\frac{q'(x',y',t)}{\lambda\sqrt{p'(x',t)}}.
+\end{gathered}
+\label{Definitions}
+\end{equation}
+%
+Краткая запись (\ref{Psi_origin}) с учётом (\ref{Definitions}):
+%
+\begin{equation}
+\psi'=-\psi_0\th\theta'.
+\label{Psi_origin_small}
+\end{equation}
+%
+Уравнения движения
+%
+\begin{equation}
+\frac{dx'}{dt}=-\frac{\partial\psi'}{\partial y'},\qquad
+\frac{dy'}{dt}=\frac{\partial\psi'}{\partial x'}.
+\label{Dyneq_def}
+\end{equation}
+%
+
+Первое уравнение:
+%
+\begin{equation}
+\frac{dx'}{dt}=\frac{\psi_0}{\ch^2\theta'}\frac{\partial\theta'}{\partial y'}=
+\frac{\psi_0}{\ch^2\theta'}\frac{1}{\lambda\sqrt{p'}}\frac{\partial q'}{\partial y'}=
+\frac{\psi_0}{\lambda\sqrt{p'}\ch^2\theta'}.
+\label{dxdt}
+\end{equation}
+%
+Второе уравнение:
+%
+\begin{equation}
+\frac{dy'}{dt}=-\frac{\psi_0}{\ch^2\theta'}\frac{\partial\theta'}{\partial x'}.
+\label{dydt}
+\end{equation}
+%
+%
+\begin{equation}
+\frac{\partial\theta'}{\partial x'}=\frac{1}{\lambda}\frac{
+\frac{\partial q'}{\partial x'}\sqrt{p'}-q'\frac{1}{2\sqrt{p'}}\frac{\partial p'}{\partial x'}
+}{p'}.
+\label{dthetadx}
+\end{equation}
+%
+Распишем производные в (\ref{dthetadx})
+%
+\begin{equation}
+\frac{\partial q'}{\partial x'}=a\sin\phi'\frac{\partial \phi'}{\partial x'}=ak\sin\phi',\\
+\label{dqdx}
+\end{equation}
+%
+%
+\begin{equation}
+\frac{\partial p'}{\partial x'}=2k^2a^2\sin\phi'\cos\phi'\frac{\partial \phi'}{\partial x'}=
+2k^3a^2\sin\phi'\cos\phi'.
+\label{dpdx}
+\end{equation}
+%
+Подставим (\ref{dqdx}) и (\ref{dpdx}) в (\ref{dthetadx})
+%
+\begin{multline}
+% Line 1
+\frac{\partial\theta'}{\partial x'}=\frac{1}{\lambda}\frac{
+ak\sqrt{p'}\sin\phi'-q'\frac{1}{2\sqrt{p'}}2k^3a^2\sin\phi'\cos\phi'
+}{p'}=
+\frac{1}{\lambda}\frac{akp'\sin\phi'-k^3a^2q'\sin\phi'\cos\phi'}{{p'}^{3/2}}=\\
+% Line 2
+=\frac{1}{\lambda}\frac{
+ak(1+a^2k^2\sin^2\phi')\sin\phi'-a^2k^3(y'-a\cos\phi')\sin\phi'\cos\phi'
+}{{p'}^{3/2}}=\\
+% Line 3
+=\frac{ak\sin\phi'}{\lambda}\frac{
+1+a^2k^2\sin^2\phi'-ak^2y'\cos\phi'+a^2k^2\cos^2\phi'
+}{{p'}^{3/2}}=
+\frac{ak\sin\phi'}{\lambda}\frac{
+1+a^2k^2-ak^2y'\cos\phi'
+}{{p'}^{3/2}}.
+\label{dthetadx_full}
+\end{multline}
+%
+Подставляя (\ref{dthetadx_full}) в (\ref{dydt}) получаем
+%
+\begin{equation}
+\frac{dy'}{dt}=-\frac{ak\psi_0\sin\phi'(1+a^2k^2-ak^2y'\cos\phi')}{\lambda{p'}^{3/2}\ch^2\theta'}.
+\label{dydt_full}
+\end{equation}
+%
+\section{Нормировки и получение окончательных уравнений движения}
+Нормировки:
+%
+\begin{equation}
+x=k(x'-ct),\quad x'=\frac{x}{k}+ct,\qquad
+y=ky',\quad y'=\frac{y}{k},\qquad
+\tau=\psi_0 k^2 t,\quad t=\frac{\tau}{\psi_0 k^2}.
+\label{norms}
+\end{equation}
+%
+Производные преобразуются следующим образом
+%
+\begin{equation}
+\frac{dx'}{dt}=\frac{d\left(\frac{x}{k}+c \frac{\tau}{\psi_0 k^2}\right)}{d\left(\frac{\tau}{\psi_0 k^2}\right)}=
+\psi_0 k\dot x+c,\qquad
+\frac{dy'}{dt}=\frac{d\left(\frac{y}{k}\right)}{d\left(\frac{\tau}{\psi_0 k^2}\right)}=
+\psi_0 k\dot y,
+\label{dnorms}
+\end{equation}
+%
+где точкой обозначено дифференцирование по $\tau$.
+Обозначения (\ref{Definitions}) заменяются на
+%
+\begin{equation}
+\phi(x)=x,\quad
+q(x,y)=y/k-a\cos x,\quad
+p(x)=1+k^2a^2\sin^2 x,\quad
+\theta(x,y)=\frac{q(x,y)}{\lambda\sqrt{p(x)}}.
+\label{Definitions_norm}
+\end{equation}
+%
+
+Преобразуем уравнение (\ref{dxdt})
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\frac{dx'}{dt}=\frac{\psi_0}{\lambda\sqrt{p'}\ch^2\theta'},\qquad
+\psi_0 k\dot x+c=\frac{\psi_0}{\lambda\sqrt{p}\ch^2\theta},\\
+\dot x=\frac{1}{k\lambda\sqrt{p}\ch^2\theta}-\frac{c}{\psi_0 k}.
+\end{gathered}
+\label{dxdt_norm}
+\end{equation}
+%
+Аналогично поступим с уравнением (\ref{dydt_full})
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\frac{dy'}{dt}=-\frac{ak\psi_0\sin\phi'(1+a^2k^2-ak^2y'\cos\phi')}{\lambda{p'}^{3/2}\ch^2\theta'},\qquad
+\psi_0 k\dot y=-\frac{ak\psi_0\sin x(1+a^2k^2-aky\cos x)}{\lambda{p}^{3/2}\ch^2\theta}\\
+\dot y=-\frac{a\sin x(1+a^2k^2-aky\cos x)}{\lambda{p}^{3/2}\ch^2\theta}.
+\end{gathered}
+\label{dydt_norm}
+\end{equation}
+%
+Наконец, введём обозначения
+%
+\begin{equation}
+A=ak,\qquad L=\lambda k,\qquad C=\frac{c}{\psi_0 k}
+\label{new_params}
+\end{equation}
+%
+и запишем уравнения (\ref{dxdt_norm}) и (\ref{dydt_norm}) в окончательном виде
+%
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\dot x&=\frac{1}{L\sqrt{1+A^2\sin^2 x}\ch^2\theta}-C,\\
+\dot y&=-\frac{A\sin x(1+A^2-Ay\cos x)}{L\left(1+A^2\sin^2 x\right)^{3/2}\ch^2\theta},
+\end{aligned}\qquad
+\theta=\frac{y-A\cos x}{L\sqrt{1+A^2\sin^2 x}}.
+\label{dots_final}
+\end{equation}
+%
+Очевидно, что функция тока для системы (\ref{dots_final}) имеет вид
+%
+\begin{equation}
+\psi(x,y)=-\th{\left(\frac{y-A\cos x}{L\sqrt{1+A^2\sin^2 x}}\right)}+Cy.
+\label{Psi_norm}
+\end{equation}
+%
+
+\section{Особые точки}
+Как видно из первого уравнения системы (\ref{dots_final}), особые точки могут существовать только при условии
+%
+\begin{equation}
+LC\le 1.
+\label{stat_prim_cond}
+\end{equation}
+%
+Из второго уравнения системы (\ref{dots_final}) получаем два условия на стационарные точки:
+%
+\begin{gather}
+\label{cond_stat_1}
+\sin x=0,\\
+1+A^2-Ay\cos x=0.
+\label{cond_stat_2}
+\end{gather}
+%
+Из первого условия получаем значение $x=0$ или $x=\pi$. Подставляя его в уравнение для $\dot x$ и приравнивая правую
+часть нулю, находим четыре стационарные точки:
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\begin{aligned}
+x_1=&0,\\
+y_1=&L\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}+A,
+\end{aligned}\qquad
+\begin{aligned}
+x_2=&0,\\
+y_2=&-L\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}+A,
+\end{aligned}\\
+\begin{aligned}
+x_3=&\pi,\\
+y_3=&L\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}-A,
+\end{aligned}\qquad
+\begin{aligned}
+x_4=&\pi,\\
+y_4=&-L\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}-A.
+\end{aligned}
+\end{gathered}
+\label{four_stat_points_1}
+\end{equation}
+%
+Анализ стабильности показывает, что вторая и третья точки устойчивы всегда, а первая
+и четвёртая устойчивы при условии
+%
+\begin{equation}
+AL\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}>1.
+\label{stab_cond}
+\end{equation}
+%
+
+Разберём подробнее условие (\ref{cond_stat_2}). Выразив из него $y$, подставив его в уравнение для $\dot x$ и сделав
+замену $z=\cos x$, получаем следующее уравнение для $z$
+%
+\begin{equation}
+f(z)=C,\qquad
+f(z)=\frac{1}{L\sqrt{1+A^2(1-z^2)}\ch^2\theta},\qquad
+\theta=\frac{\sqrt{1+A^2(1-z^2)}}{ALz}.
+\label{cond_z}
+\end{equation}
+%
+$f(z)$~--- чётная функция, определённая на интервале $z\in[-1:1]$, с особенностью в точке $z=0$, причём
+$\displaystyle \lim_{z\to 0}f(z)=0$. Анализируя производную $f'(z)$ можно показать, что $f(z)$ строго возрастает на
+полуинтервале $z\in(0:1]$ и строго убывает на полуинтервале $z\in[-1:0)$. Из вышеизложенных фактов следует
+умозаключение, что при выполнении условия
+%
+\begin{equation}
+C<f(\pm 1)=\frac{1}{L\ch^2{(1/AL)}}
+\label{stat_sec_cond}
+\end{equation}
+%
+существует два решения уравнения (\ref{cond_z}), симметричных относительно нуля.
+Нетрудно убедиться, что условие (\ref{stat_sec_cond}) совпадает с условием (\ref{stab_cond}). Таким образом,
+при выполнении условия (\ref{stat_sec_cond}) в системе (\ref{dots_final})
+возникают в дополнение к точкам (\ref{four_stat_points_1}) ещё четыре стационарных точки:
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\begin{aligned}
+x_5=&\arccos z_0,\\
+y_5=&\frac{1+A^2}{Az_0},
+\end{aligned}\qquad
+\begin{aligned}
+x_6=&2\pi-\arccos z_0,\\
+y_6=&\frac{1+A^2}{Az_0},
+\end{aligned}\\
+\begin{aligned}
+x_7=&\pi-\arccos z_0,\\
+y_7=&-\frac{1+A^2}{Az_0},
+\end{aligned}\qquad
+\begin{aligned}
+x_8=&\pi+\arccos z_0,\\
+y_8=&-\frac{1+A^2}{Az_0},
+\end{aligned}
+\end{gathered}
+\label{four_stat_points_2}
+\end{equation}
+%
+где $z_0$~--- положительное решение уравнения (\ref{cond_z}). Анализ стабильности показывает, что эти точки всегда
+неустойчивы.
+
+Таким образом, с точки зрения существования и стабильности особых точек, существует три режима:
+%
+\begin{enumerate}
+\item $C>C_\text{cr1}=1/L$. Особых точек нет.
+\item $C_\text{cr1}>C>C_\text{cr2}=\frac{1}{L\ch^2{(1/AL)}}$. Существует четыре особых точки (\ref{four_stat_points_1}):
+два центра (вторая и третья точки) и два седла (первая и четвёртая точки).
+Существует две сепаратрисы, проходящие через первую и четвёртую точки, соответственно.
+\item $C_\text{cr2}>C$. Существует восемь особых точек: четыре центра (\ref{four_stat_points_1}) и
+четыре седла (\ref{four_stat_points_2}). Существует две сепаратрисы. Первая проходит через пятую и шестую точки,
+вторая~--- через седьмую и восьмую.
+\end{enumerate}
+%
+Бифуркация между первым и вторым режимами заключается в возникновении двух пар седло-центр.
+Бифуркация между вторым и третьим режимами заключается в возникновении на месте неустойчивого седла
+пары сёдел и центра между ними (бифуркация типа вилки). Зависимость $C_\text{cr2}$ от параметров
+$A$ и $L$ приведена на рис.~\ref{FigC}a.
+%
+\begin{figure}[!htb]
+\parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{a)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{C2.eps}}
+}\hfill \parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{b)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{C3.eps}}
+}\\
+$\mathstrut$\hfill
+\parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{c)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{DC.eps}}
+}\hfill$\mathstrut$
+\caption{a)
+$C_\text{cr2}(A,L)$; b) $C_\text{cr3}(A,L)$;
+c) $C_\text{cr2}(A,L)-C_\text{cr3}(A,L)$.}
+\label{FigC}
+\end{figure}
+%
+
+Однако, возможна ещё одна бифуркация, приводящая к изменению топологии фазовго портрета, но не затрагивающая
+особых точек. Нетрудно убедится, что значения функции тока (\ref{Psi_norm}) на сепаратрисах равны по модулю, но
+противоположны по знаку. Можно показать, что функция тока для сепаратрисы, проходящей через точки с $y>0$ меняется
+непрерывно от отрицательного значения ($-1$) при $C\to 0$, до положительного ($AC$) при $C=C_\text{cr1}$. Функция
+тока для второй сепаратрисы меняется, соответственно, от $1$ до $-AC$. Существует некоторое критическое значение
+$C=C_\text{cr3}$ при котором функция тока на обеих сепаратрисах равна нулю и сепаратрисы совпадают.
+При $C>C=C_\text{cr3}$ на фазовом портрете свободное течение между сепаратрисами направлено с востока на запад,
+а при $C<C=C_\text{cr3}$~--- с запада на восток\footnote{Я не знаю как доказать этот факт аналитически, но он
+виден на фазовых портретах.}. $C=C_\text{cr3}$ сложно найти аналитически, однако можно показать, что
+$C_\text{cr3}>C_\text{cr2}$, если выполняется условие
+%
+\begin{equation}
+\frac{1+A^2}{AL\ch^2{(1/AL)}}-\th{(1/AL)}<0.
+\label{cond_Ccr3}
+\end{equation}
+%
+В противном случае $C_\text{cr3}<C_\text{cr2}$. Зависимость $C_\text{cr3}$ от параметров
+$A$ и $L$ приведена на рис.~\ref{FigC}b. На рис.~\ref{FigC}с приведена зависимость
+разности $C_\text{cr2}$ и $C_\text{cr3}$.
+
+%
+\begin{figure}[!htb]
+\parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{a)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{port_2a.eps}}
+}\hfill \parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{b)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{port_2b.eps}}
+}
+\caption{a) $A=0.6$, $L=1.0$, $C=0.7$; b) $A=0.6$, $L=0.7$, $C=0.4$.}
+\label{port_2}
+\end{figure}
+%
+%
+\begin{figure}[!htb]
+\parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{a)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{port_3a.eps}}
+}\hfill \parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{b)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{port_3b.eps}}
+}
+\caption{a) $A=3.0$, $L=2.5$, $C=0.3$; b) $A=1.6$, $L=0.5$, $C=0.2$.}
+\label{port_3}
+\end{figure}
+%
+
+Итоговый список топологически разных режимов динамики системы выглядит следующим образом:
+%
+\begin{enumerate}
+\item $C>C_\text{cr1}$. Особых точек нет.
+\item[2a.] $C_\text{cr1}>C>C_\text{cr2}$ и $C>C_\text{cr3}$.
+Существует четыре особых точки (\ref{four_stat_points_1}): два центра (вторая и третья точки) и два седла
+(первая и четвёртая точки). Существует две сепаратрисы, проходящие через первую и четвёртую точки, соответственно.
+Свободный поток между сепаратрисами направлен с востока на запад. Смотри рис.~\ref{port_2}a.
+\item[2b.] $C_\text{cr1}>C>C_\text{cr2}$ и $C<C_\text{cr3}$.
+Особые точки те же, что и в предыдущем случае, но свободный поток между сепаратрисами направлен с запада на восток.
+Смотри рис.~\ref{port_2}b.
+\item[3a.] $C_\text{cr2}>C>C_\text{cr3}$. Существует восемь особых точек: четыре центра (\ref{four_stat_points_1}) и
+четыре седла (\ref{four_stat_points_2}). Существует две сепаратрисы. Первая проходит через пятую и шестую точки,
+вторая~--- через седьмую и восьмую. Свободный поток между сепаратрисами направлен с востока на запад.
+Смотри рис.~\ref{port_3}a.
+\item[3b.] $C_\text{cr2}>C$ и $C<C_\text{cr3}$. Особые точки те же, что и в предыдущем случае,
+но свободный поток между сепаратрисами направлен с запада на восток.
+Смотри рис.~\ref{port_3}b.
+\end{enumerate}
+%
+Возможные бифуркации: 1~-- 2a ($C=C_\text{cr1}$), 2a~-- 2b ($C=C_\text{cr3}>C_\text{cr2}$),
+2a~-- 3a ($C=C_\text{cr2}>C_\text{cr3}$), 2b~-- 3b ($C=C_\text{cr2}<C_\text{cr3}$),
+3a~-- 3b ($C=C_\text{cr3}<C_\text{cr2}$), и, наконец, 2a~-- 2b~-- 3a~-- 3b ($C=C_\text{cr2}=C_\text{cr3}$).
+Фазовые портреты, соответствующие этим бифуркациям, приведены на рис.~\ref{Bifurcations}.
+
+%
+\begin{figure}[!htb]
+\parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{a)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{b_2a-3a.eps}}
+}\hfill \parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{b)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{b_2b-3b.eps}}
+}\\
+\parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{c)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{b_2a-2b.eps}}
+}\hfill \parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{d)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{b_3a-3b.eps}}
+}\\
+\parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{e)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{b_1-2a.eps}}
+}\hfill \parbox[c]{0.48\textwidth}{
+\centerline{f)}
+\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{b_mega.eps}}
+}
+\caption{Бифуркации:
+a) 2a~-- 3a ($A=1.58$, $L=3.47$, $C=0.278805808052728$);
+b) 2b~-- 3b ($A=0.5$, $L=1.85$, $C=0.2001078840192$);
+c) 2a~-- 2b ($A=0.5$, $L=1.04$, $C=0.499332517637516$);
+d) 3a~-- 3b ($A=2.39$, $L=0.5$, $C=0.279980401812784$);
+e) 1~-- 2a ($A=1.0$, $L=1.0$, $C=1.0$);
+f) 2a~-- 2b~-- 3a~-- 3b ($A=0.75$, $L=1.560992$, $C=0.332753$).
+}
+\label{Bifurcations}
+\end{figure}
+%
+
+\section{Возмущение}
+Рассмотрим возмущённую задачу. В этом случае амплитуда меандра имеет вид
+%
+\begin{equation}
+a=a_0+\epsilon'\cos{(\Omega t+\phi)},
+\label{Perturb}
+\end{equation}
+%
+где $\epsilon'$~--- амплитуда, $\Omega$~--- частота и $\phi$~--- фаза возмущения.
+Используя нормировки (\ref{norms}) получаем следующие возмущённые уравнения движения:
+%
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\dot x&=\frac{1}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}\ch^2\theta}-C,\\
+\dot y&=-\frac{A(\tau)\sin x(1+A(\tau)^2-A(\tau)y\cos x)}{L\left(1+A(\tau)^2\sin^2 x\right)^{3/2}\ch^2\theta},
+\end{aligned}\qquad
+\begin{gathered}
+\theta=\frac{y-A(\tau)\cos x}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}},\\
+A(\tau)=A_0+\epsilon\cos{(\omega\tau+\phi)}.
+\end{gathered}
+\label{dots_perturb}
+\end{equation}
+%
+Здесь введены обозначения
+%
+\begin{equation}
+A_0=a_0k,\qquad \epsilon=\epsilon' k,\qquad \omega=\frac{\Omega}{\psi_0 k^2}.
+\label{new_pert_params}
+\end{equation}
+%
+
+\section{Точки поворота}
+Точки поворота определяются условием $\dot x=0$. Для невозмущённой системы точки поворота лежат на линиях
+%
+\begin{equation}
+y_t=\pm L\sqrt{1+A^2\sin^2{x}}\operatorname{Arsech}{\sqrt{{LC\sqrt{1+A^2\sin^2{x}}}}}+A\cos x.
+\label{unpert_turnpoints}
+\end{equation}
+%
+В дальнейшем будем рассматривать линию только со знаком <<$+$>>. Эта линия существует для всех значений $x$, если выполняется условие $C\le 1/(L\sqrt{1+A^2})$. Разрывы, если они существуют, находятся вблизи точек $x=\pi/2,\,3\pi/2$. Из Рис.~\ref{port_2} и~\ref{port_3} видно, что линия точек поворота неразрывна для фазовых портретов 2b и 3b, из чего следует ограничение\footnote{Аналитически доказать это я не смог.} $C_\text{cr3}<1/(L\sqrt{1+A^2})$.
+
+В случае наличия возмущения линия превращается в полосу, состоящую из линий (\ref{unpert_turnpoints}) со значениями $A$ от $A_0-\epsilon$ до $A_0+\epsilon$. Производная $\partial y_t/\partial A$ имеет вид:
+%
+\begin{equation}
+\frac{\partial y_t}{\partial A}=d(x,A)=\cos x+g(x,A),
+\label{dytdA}
+\end{equation}
+%
+где $g(x,A)$ определяется как
+%
+\begin{equation}
+g(x,A)=\frac{AL \sin^2 x}{2\sqrt{1+A^2 \sin^2 x}}\left(
+2\operatorname{Arsech}\sqrt{{LC\sqrt{1+A^2\sin^2{x}}}}-
+\frac{1}{\sqrt{1-LC\sqrt{1+A^2\sin^2 x}}}\right).
+\label{g_xA}
+\end{equation}
+%
+Если $d(x,A)$ при некотором $x$ не меняет знак на интервале $A_0-\epsilon\le A\le A_0+\epsilon$, то $y_t$ меняется от $y_t(x,A_0-\epsilon)$ до $y_t(x,A_0+\epsilon)$, причём каждому значению $y$ соответствует единственное значение $A$ и, соответственно, два решения уравнения на фазу возмущения: $A_0+\epsilon\sin{t}=A$. Однако, могут существовать такие значения $x$, при которых уравнение $d(x,A)=0$ имеет решение в промежутке $A_0-\epsilon< A< A_0+\epsilon$. В этом случае одному значению $y$ может соответствовать более одного значения $A$. Ширина полосы будет определяться значениями
+$y_t$ в точке(ах) экстремума(ов) и на краях интервала значений $A$.
+
+\section{Итоги}
+Исходная модель имеет пять основных параметров:
+%
+\begin{enumerate}
+\item $\psi_0$ --- амплитуда функции тока;
+\item $\lambda$ --- характерная ширина течения;
+\item $a_0$ --- амплитуда меандра;
+\item $k$ --- волновое число меандра;
+\item $c$ --- фазовая скорость меандра;
+
+и три параметра возмущения:
+\item $\epsilon'$ --- амплитуда возмущения;
+\item $\Omega$ --- частота возмущения;
+\item $\phi$ --- фаза возмущения.
+\end{enumerate}
+%
+
+После нормировки эти параметры сводятся к трём основным:
+%
+\begin{enumerate}
+\item $L=\lambda k$ --- нормированая ширина течения;
+\item $A_0=a_0k$ --- нормированая амплитуда меандра;
+\item $C=\dfrac{c}{\psi_0 k}$ --- нормированая фазовая скорость меандра;
+
+и трём параметрам возмущения:
+\item $\epsilon=k\epsilon'$ --- нормированная амплитуда возмущения;
+\item $\omega=\dfrac{\Omega}{\psi_0 k^2}$ --- нормированная частота возмущения;
+\item $\phi$ --- фаза возмущения.
+\end{enumerate}
+%
+
+Нормированая функция тока имеет вид
+%
+\begin{equation}
+\psi(x,y)=-\th{\left(\frac{y-A(\tau)\cos x}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}}\right)}+Cy.
+\label{Psi_norm_itog}
+\end{equation}
+%
+Уравнения движения
+%
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\dot x&=\frac{1}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}\ch^2\theta}-C,\\
+\dot y&=-\frac{A(\tau)\sin x(1+A(\tau)^2-A(\tau)y\cos x)}{L\left(1+A(\tau)^2\sin^2 x\right)^{3/2}\ch^2\theta},
+\end{aligned}\qquad
+\begin{gathered}
+\theta=\frac{y-A(\tau)\cos x}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}},\\
+A(\tau)=A_0+\epsilon\cos{(\omega\tau+\phi)}.
+\end{gathered}
+\label{dots_final_itog}
+\end{equation}
+%
+
+\end{document}