Text about detection of overlapping of stochastic layers

puan.tex

@@ -0,0 +1,71 @@
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{color}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+
+\topmargin=-1.8cm
+\oddsidemargin=-15mm
+\evensidemargin=-15mm
+\textheight=24.5cm
+\textwidth=19cm
+\tolerance=1000
+
+\parskip=5pt plus 4pt minus 2pt
+\tolerance=9000
+%
+\begin{document}
+Будем определять наличие поперечного транспорта по перекрытию северного и южного стохслоёв.
+Стохслои можно получить, считая сечения Пуанкаре на достаточно большое время с начальными условиями, взятыми, соответственно, в северной и южной областях потока. Перекрытие двух стохслоёв определим следующим образом. Если каждая точка первого стохслоя лежит во втором и наоборот~--- два стохслоя перекрываются. Понятно, что <<каждая точка>>~--- это идеальный случай, при недостаточном времени счёта сечения Пуанкаре могут перекрываться частично.
+
+{\bfseries Алгоритм определения того, что некая точка принадлежит стохслою.}
+Пусть имеется точка $A$ и множество точек $B_i$, случайно распределённых в некоторой ограниченной области $D$ (область $D$ точно неизвестна, мы имеем только набор $B_i$). Для каждой точки $B_i$ рассчитаем расстояние до её ближайшего соседа $r_i=\min\limits_{j\ne i}||B_i,B_j||$, где $||B_i,B_j||$~--- расстояние между точками $B_i$ и $B_j$. Будем считать точку $A$ принадлежащей области $D$, если расстояние от $A$ до $B_i$ меньше чем максимальное расстояние до ближайшего соседа в множестве $B_i$: $\min\limits_{i}||B_i,A||\leqslant R=\max\limits_i r_i$. На практике мы используем не максимальное расстояние $R$, а $R_n$~--- такое расстояние, что $n$-ая часть $r_i$ меньше $R_n$. То есть, при $n=0.95$ 95\% процентов точек имеют расстояние до ближайшего соседа меньше чем $R_{0.95}$. Это делается для того, чтобы избежать случайных выбросов в распределении $r_i$. С другой стороны, при использовании $R_n$ точки, заведомо принадлежащие $D$, будут отбрасываться с вероятностью $1-n$. Впрочем, на детектировании поперечного транспорта это не отражается.
+
+Для определения факта перекрытия двух сечений Пуанкаре, мы вычисляем и анализируем величины $N_1$ и $N_2$. $N_1$~--- доля частиц из первого сечения, принадлежащих второму стохслою, $N_2$~--- доля частиц из второго сечения, принадлежащих первому стохслою. Принадлежность считается по алгоритму, приведённому выше. Для данной задачи возможны следующие варианты:
+%
+\begin{enumerate}
+\item $N_1=N_2=0$. Стохслои никак не перекрываются.
+\item $N_1\simeq n\simeq N_2$. Стохслои полностью перекрыты. Будет $n$, а не единица, по причине <<false negatives>>, описанных выше.
+\item $N_1\simeq N_2\ll 1$. Стохслои не перекрываются, но касаются друг друга. Такое случается при разрушении невырожденных инвариантных торов, но не разрушенной ЦИК. Или, когда поперечный транспорт существует, но маловероятен, как при разрушении ЦИК чётными резонансами.
+\item В прочих случаях стохслои частично перекрыты, но время счёта было недостаточно для полного перекрытия.
+\end{enumerate}
+%
+
+\section{Определение площади множества точек}
+Пусть в некотором метрическом пространстве с метрикой $\rho$ задана мера $\mu$, такая что мера окружности радиусом $r$ зависит только от $r$ как функция $s(r)$ (то есть мера области не меняется при параллельном переносе). Пусть имеется некоторая область $D$, такая что $\mu(D)=S<\infty$. Бросим на область $D$ большое количество $N$ точек, распределённых равномерно случайным образом (то есть вероятность попадания точки в некоторую подобласть области $D$ пропорциональна только мере этой подобласти). Тогда, при условии достаточной гладкости области $D$ (чтобы можно было пренебречь граничными эффектами) можно рассчитать функцию распределения вероятности $f(r)$ иметь ближайшего соседа на расстоянии $r$. Итак, вероятность того, что расстояние до ближайшего соседа будет лежать в интервале от $r$ до $r+dr$:
+%
+\begin{equation}
+f(r)dr=\frac{N}{S}s'(r)dr\left(1-\frac{s(r)}{S}\right)^{N-1}.
+\label{f1}
+\end{equation}
+%
+Происхождение этой формулы следующее. Вероятность иметь ближайшего соседа на расстоянии от $r$ до $r+dr$ равна вероятности того, что одна точка попадёт в кольцо между окружностями с радиусами $r$ и $r+dr$, а остальные точки попадут за пределы окружности с радиусом $r+dr$ (или просто $r$). Вероятность попадания точки в кольцо равна мере кольца, делённой на меру множества $D$, то есть $(s(r+dr)-s(r))/S=s'(r)dr/S$. Вероятность того, что остальные $N-1$ точки попадут за пределы окружности с радиусом $r$, равна произведению вероятности попадания за окружность каждой точки или $\left(1-\frac{s(r)}{S}\right)^{N-1}$. Поскольку в кольцо может попасть любая из $N$ точек, необходимо просуммировать эти вероятности $N$ раз, откуда и появляется множитель $N$. Преобразуем формулу \eqref{f1}
+%
+\begin{equation}
+f(r)dr=\frac{N}{S}s'(r)dr\left(\left(1-\frac{s(r)}{S}\right)^\frac{S}{s(r)}\right)^{(N-1)\frac{s(r)}{S}}.
+\label{f2}
+\end{equation}
+%
+При малых $r$ величина $s(r)/S$ тоже является малой, и выражение $\left(1-s(r)/S\right)^{S/s(r)}$ можно заменить на $e^{-1}$. Обозначим $\bar s=S/N$ (средняя мера на одну точку). В пределе больших $N$, $S/(N-1)\simeq \bar s$. Получаем окончательное выражение для $f(r)$:
+%
+\begin{equation}
+f(r)=\frac{s'(r)}{\bar s}\exp\left(-\frac{s(r)}{\bar s}\right).
+\label{f3}
+\end{equation}
+%
+Формула \eqref{f3} тем точнее, чем больше $N$. Условие нормировки $\int\limits_0^\infty f(r)\,dr=1$, очевидно, выполняется. Заметим, что функция распределения содержит всего один параметр~--- $\bar s$. Таким образом, измерив функцию распределения расстояний до ближайших соседей, можно найти соответствующий ей параметр $\bar s$, а, значит, и меру множества, на котором распределены точки. Для евклидовой метрики на линии, плоскости и в трёхмерном пространстве и длины, площади, объёма в качестве соответствующей меры, имеем
+%
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+s_1(r)&=2r, &s'_1(r)&=2, &f_1(r)&=\frac{2}{\bar s}\exp\left(-\frac{2r}{\bar s}\right).\\
+s_2(r)&=\pi r^2, &s'_2(r)&=2\pi r, &f_2(r)&=\frac{2\pi r}{\bar s}\exp\left(-\frac{\pi r^2}{\bar s}\right).\\
+s_3(r)&=\frac{4}{3}\pi r^3, &s'_3(r)&=4\pi r^2, &f_3(r)&=\frac{4\pi r^2}{\bar s}\exp\left(-\frac{4\pi r^3}{3\bar s}\right).
+\end{aligned}
+\label{f4}
+\end{equation}
+%
+
+\end{document}