Incomplete text about cicrumpolar flow

Circumpolar/ns1.tex

@@ -0,0 +1,556 @@
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{color}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+\usepackage{amsmath}
+
+\topmargin=-1.8cm
+\oddsidemargin=-15mm
+\evensidemargin=-15mm
+\textheight=24.5cm
+\textwidth=19cm
+\tolerance=1000
+
+\parskip=5pt plus 4pt minus 2pt
+\tolerance=9000
+\DeclareMathOperator{\sech}{sech}
+%
+\begin{document}
+\section{Механизмы разрушения центральной инвариантной кривой,
+условия образования центральной стохастической струи.}
+
+Исследуется модельный поток, состоящий из струи Бикли и двух волн Россби
+с амплитудами $a_1$ и $a_2$. Цель~--- изучение структуры и статистических
+свойств центральной стохастической струи.
+
+Задачи~--- выявление условий разрушения $CIC$ при малой амплитуде
+возмущения, визуализация (анимация) метаморфоз $CIC$ при вариации
+управляющих параметров.
+
+\section{Нормировка}
+Для удобства численного моделирования введём специальную нормировку.
+Функция тока потока с двумя волнами Россби имеет вид:
+%
+\begin{equation}
+\Psi(x,y,t)=
+-U_0 L\tanh{\frac{y}{L}}+
+a_1 U_0 L \sech^2{\frac{y}{L}}\cos{k_1(x-c_1 t)}+
+a_2 U_0 L \sech^2{\frac{y}{L}}\cos{k_2(x-c_2 t)},
+\label{orpsi}
+\end{equation}
+где $L$~---характерная ширина струи, $U_0$~--- максимальная скорость
+в невозмущёной струе, $a_1$, $a_2$, $c_1$, $c_2$, $k_1$, $k_2$~---
+амплитуды, скорости и волновые числа двух волн Россби.
+Скорости $c_1$ и $c_2$ находятся следующим образом
+%
+\begin{equation}
+c_{1,2}=\frac{U_0}{3}(1\pm\alpha),\quad\alpha=\sqrt{1-\beta^*},\quad \beta^*=\frac{3L^2\beta}{2U_0}
+\label{c12}
+\end{equation}
+%
+и связаны с волновыми числами $k_1$, $k_2$ дисперсионным соотношением
+%
+\begin{equation}
+c_{1,2}=\frac{U_0L^2}{6}k_{1,2}^2.
+\label{disper}
+\end{equation}
+%
+Если поток замкнут в кольцо, обе волны можно характеризовать
+числами $n_1$ и $n_2$ (количество длин волн, укладывающихся на окружность)
+и выразить через них волновые числа и скорости
+%
+\begin{equation}
+k_{1,2}=\frac{n_{1,2}}{R},\quad c_{1,2}=\frac{U_0Q^2}{6}n_{1,2}^2,\quad Q=\frac{L}{R},
+\label{n2kc}
+\end{equation}
+%
+где $R$~--- радиус окружности. Подставляя (\ref{n2kc}) в (\ref{c12}) получаем два уравнения, связывающие $n_{1,2}$ и $Q$, $\alpha$
+%
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+n_1^2&=\frac{2}{Q^2}(1+\alpha),\\
+n_2^2&=\frac{2}{Q^2}(1-\alpha).
+\end{aligned}
+\label{aQ2n}
+\end{equation}
+%
+Из (\ref{aQ2n}) нетрудно получить, что
+%
+\begin{equation}
+\alpha=\frac{n_1^2-n_2^2}{n_1^2+n_2^2},\quad \beta^*=1-\alpha^2=\frac{4n_1^2n_2^2}{\left(n_1^2+n_2^2\right)^2}=\frac{3L^2\beta}{2U_0},\quad
+Q^2=\frac{4}{n_1^2+n_2^2}=\frac{L^2}{R^2}.
+\label{n2aQ}
+\end{equation}
+%
+
+Рассмотрим преобразование переменных вида
+%
+\begin{equation}
+x'=Ax+Bt,\quad y'=Cy,\quad t'=Dt,\quad \Psi'=\frac{AC}{D}\Psi-\frac{B}{D}y'.
+\label{coordtrans}
+\end{equation}
+%
+Вид преобразования $\Psi$ в $\Psi'$ следует из того, что функция $\Psi'$ должна удовлетворять уравнениям Гамильтона в новых переменных.
+Применим последовательно (для удобства восприятия) преобразования вида (\ref{coordtrans}) к функции тока (\ref{orpsi}) (штрихи опускаем,
+$k_{1,2}$ и $c_{1,2}$ подставляем из (\ref{n2kc})).
+
+Первое преобразование~--- нормировка $y$ (избавляемся от $L$):
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+A=D=1,\quad B=0,\quad C=\frac{1}{L},\\
+\Psi(x,y,t)=
+-U_0 \tanh{y}+
+a_1 U_0 \sech^2{y}\cos{\frac{n_1}{R}\left(x-\frac{U_0L^2}{6R^2}n_1^2 t\right)}+
+a_2 U_0 \sech^2{y}\cos{\frac{n_2}{R}\left(x-\frac{U_0L^2}{6R^2}n_2^2 t\right)}.
+\end{gathered}
+\end{equation}
+%
+
+Второе преобразование~--- одовременная (чтобы $R$ не вылазило) нормировка $x$ и $t$ (избавляемся от $U_0$):
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+A=\frac{1}{R},\quad B=0,\quad C=1,\quad D=\frac{U_0}{R},\\
+\Psi(x,y,t)=
+-\tanh{y}+
+a_1\sech^2{y}\cos{n_1\left(x-\frac{L^2}{6R^2}n_1^2 t\right)}+
+a_2\sech^2{y}\cos{n_2\left(x-\frac{L^2}{6R^2}n_2^2 t\right)}.
+\end{gathered}
+\label{Psi2}
+\end{equation}
+%
+Подставляя отношение $L/R$ из (\ref{n2aQ}) в (\ref{Psi2}) получаем функцию
+тока, зависящую только от $n_{1,2}$
+%
+\begin{equation}
+\Psi(x,y,t)=
+-\tanh{y}+
+a_1\sech^2{y}\cos{n_1\left(x-\frac{2n_1^2}{3(n_1^2+n_2^2)} t\right)}+
+a_2\sech^2{y}\cos{n_2\left(x-\frac{2n_2^2}{3(n_1^2+n_2^2)} t\right)}.
+\label{Psi2tr}
+\end{equation}
+%
+Следующий шаг~--- приведение дроби $n_1/n_2$ к несократимому виду.
+Пусть $n_1/n_2$~--- сократимая дробь. Тогда
+%
+\begin{equation}
+n_1=mN_1,\quad n_2=mN_2,
+\label{N12}
+\end{equation}
+%
+где $m\ne 1$~--- наибольший общий делитель $n_1$ и $n_2$, а
+$N_1/N_2$~--- несократимая дробь. Подставив (\ref{N12}) в (\ref{Psi2tr}),
+получаем
+%
+\begin{equation}
+\Psi(x,y,t)=
+-\tanh{y}+
+a_1\sech^2{y}\cos{mN_1\left(x-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}+
+a_2\sech^2{y}\cos{mN_2\left(x-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}.
+\label{Psi2tr2}
+\end{equation}
+%
+
+Соответственно, третье преобразование~--- избавление от $m$:
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+A=D=m,\quad B=0,\quad C=1,\\
+\Psi(x,y,t)=
+-\tanh{y}+
+a_1\sech^2{y}\cos{N_1\left(x-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}+
+a_2\sech^2{y}\cos{N_2\left(x-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}.
+\end{gathered}
+\label{Psi3}
+\end{equation}
+%
+
+Последнее преобразование~--- переход в систему отсчёта, движующуюся
+вместе с одной из волн. В какую именно~--- определяется из соотношения
+между амплитудами $a_1$ и $a_2$. Итак, два варианта:
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+A=C=D=1,\quad B_1=-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)},\quad B_2=-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)}\\
+\Psi_1(x,y,t)=
+-\tanh{y}+
+a_1\sech^2{y}\cos{N_1 x}+
+a_2\sech^2{y}\cos{(N_2x+\omega_2t)}+C_2y,\\
+\Psi_2(x,y,t)=
+-\tanh{y}+
+a_1\sech^2{y}\cos{(N_1x-\omega_1t)}+
+a_2\sech^2{y}\cos{N_2 x}+C_1y,\\
+\omega_1=\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_1,\quad
+\omega_2=\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_2,\quad
+C_1=\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)},\quad
+C_2=\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)}.
+\end{gathered}
+\label{Psie}
+\end{equation}
+%
+
+Преобразование от (\ref{orpsi}) к (\ref{Psie}) и обратно
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+x'_{1,2}=\frac{mx}{R}-C_{2,1} \frac{mU_0}{R} t,\quad y'=\frac{y}{L},\quad t'=\frac{mU_0}{R}t,\\
+x=\frac{(x'_{1,2}+C_{2,1} t')R}{m},\quad y=Ly',\quad t=\frac{R}{mU_0}t'.
+\end{gathered}
+\end{equation}
+%
+
+Два вывода. Во-первых, динамика системы полностью определяется двумя
+контрольными параметрами (не считая амплитуд, конечно) $n_1$ и $n_2$.
+Во-вторых, эти два контрольных параметра определяются аж четырьмя
+физическими параметрами, которые могут меняться в эксперименте.
+Это приводит к большой свободе в выборе $n_1$ и $n_2$.
+
+Для связи с экспериментом нам нужно указать значения
+волновых чисел (определяется геометрия потока) и амплитуды при
+которых происходит тот или иной эффект. Далее экспериментаторы
+подбирают параметры установки (ширина струи, длина канала,
+максимальная скорость сдвигового потока).
+
+Гипотеза: разрушение центральной инвариантной кривой $CIC$
+(полученной итерациями одной из индикаторных точек системы) при
+минимальной амплитуде возмущения стоит ожидать при определённых
+соотношениях между частотой стационарной системы
+(сдвиговый поток + волна Россби) и частотой возмущения
+(вторая волна Россби). Для проверки гипотезы нам необходимо выбрать
+такую пару $N_1-N_2$, для которой частоты стационарного
+потока и частота возмущения будут равны или кратны.
+
+\section{Стационарная функция тока, особые точки и бифуркации}
+Рассмотрим случай, когда одна из амплитуд $a_1$ или $a_2$ равна нулю. Тогда, одна из функции тока
+в (\ref{Psie}) будет стационарной. Применив нормировку (\ref{coordtrans}) с параметрами $A=D=N_{1,2}$, $B=0$, $C=1$
+и убрав индексы у переменных ($C_{1,2}$ заменим на маленькую $c$, чтобы не путать с $C$ из (\ref{coordtrans})),
+получаем стационарную функцию тока
+Исходная функция тока
+%
+\begin{equation}
+\Psi=cy-\tanh y+a\sech^2 y\cos x.
+\label{psi_stat}
+\end{equation}
+%
+Стационарные уравнения движения
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\dot x=\sech^2y\left(1+a\tanh y\cos x\right)-c,\\
+\dot y=-a\sech^2y\sin x.
+\end{gathered}
+\label{Dyneq_stat}
+\end{equation}
+%
+
+Для нахождения стационарных точек приравняем нулю правые части системы
+(\ref{Dyneq_stat}). Из второго уравнения сразу получаем, что стационарные
+точки находятся при $x=2\pi n$ и $x=\pi+2\pi n$, где $n$~--- целое число.
+Подставляя $x$ в первое уравнение, получаем
+%
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\sech^2y\left(1+2a\tanh y\right)-c=&0, &x&=2\pi n,\\
+\sech^2y\left(1-2a\tanh y\right)-c=&0, &x&=\pi+2\pi n.
+\end{aligned}
+\label{ur_y}
+\end{equation}
+%
+Применив формулу $\sech^2y=1-\tanh^2y$ и обозначив $z=\tanh y$ получаем
+%
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+(1-z^2)(1+2az)-c=&0, &x&=2\pi n,\\
+(1-z^2)(1-2az)-c=&0, &x&=\pi+2\pi n.
+\end{aligned}
+\label{ur_z}
+\end{equation}
+%
+Корни обеих уравнений совпадают с точностью до знака, так что в дальнейшем
+достаточно рассмотреть только первое уравнение
+%
+\begin{equation}
+2az^3+z^2-2az+c-1=f(z)=0.
+\label{ur_z_main}
+\end{equation}
+%
+В силу того, что $f(\pm 1)=c>0$, а $f(0)=c-1<0$ ($c<2/3$, что следует из определения $C_{1,2}$ в (\ref{Psie})), очевидно существование у уравнения (\ref{ur_z_main}) трёх корней.
+\begin{enumerate}
+\item Корень на луче $(-\infty,-1)$. Этот корень не имеет физического смысла, так как из определения $z$ следует, что
+$|z|<1$.
+\item Корень на отрезке $(-1,0)$.
+\item Корень на отрезке $(0,1)$.
+\end{enumerate}
+
+Таким образом, в системе имеется
+четыре стационарных точки. Анализ устойчивости сравнительно громоздок, но прост. При $x=0$ верхняя
+точка неустойчива, нижняя~--- устойчива. При $x=\pi$~--- наоборот.
+Анализ сепаратрис не удался, но численно определить кривую, на которой
+происходит бифуркация перестройки сепаратрис вполне возможно.
+%
+\begin{figure}[!htb]
+\begin{center}
+\includegraphics[width=0.8\textwidth]{ccrit.eps}
+\caption{Диаграмма состояний системы на плоскости $a$~-- $c$.
+Зона I~--- гетероклинические сепаратрисы.
+Зона II~--- гомоклинические сепаратрисы.}
+\end{center}
+\label{phase_diag}
+\end{figure}
+%
+
+
+\subsection{Анализ резонансных условий}
+
+Проведём аналитическую оценку значений частот стационарной системы и
+возмущения, удовлетворяющих условию баллистического резонанса.
+Стационарная система~--- это течение созданное сдвиговым потоком и
+одной из волн Россби. Рассмотрим случай когда $a_1>a_2$
+(напомним, что в принятой нормировке $N_1>N_2$), т.~е. вторая
+волна является возмущением:
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\frac{d x_1}{d t}=-C_2+\sech^2{y}[1+2 a_1\tanh{y}\cos{N_1 x}+
+2 a_2\tanh{y}\cos{(N_2 x+\omega_2 t)}],\\
+\frac{d y_1}{d t}=-\sech^2{y}[a_1 N_1\sin{N_1 x}+
+a_2 N_2\sin{(N_2 x+\omega_2 t)}].
+\end{gathered}
+\label{system}
+\end{equation}
+%
+
+Исходя из поставленной задачи~--- определение условий
+разрушения центральной инвариантной кривой, интерес представляет
+центральная часть стационарного потока. Грубая оценка
+(при $a_1\approx 0$) максимальной зональной скорости в указанной области
+потока получается из уравнений адвекции (\ref{system}):
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\frac{d x_1}{d t}=-C_2+1.
+\end{gathered}
+\label{velos}
+\end{equation}
+%
+Соответственно, максимальная частота $f_{1}=-C_2+1$.
+Условие баллистического резонанса для центральной области имеет вид\footnote{Michael: Упрости выражение.}:
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\frac{f_{1}}{\omega_2}=(1-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)})/
+(\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_2)=k_1.
+\end{gathered}
+\label{rez}
+\end{equation}
+%
+
+Для случая $a_1<a_2$, т.~е. первая волна является возмущением:
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\frac{d x_2}{d t}=-C_1+\sech^2{y}[1+2 a_1\tanh{y}\cos{(N_1 x-\omega_1 t)}+
+2 a_2\tanh{y}\cos{N_2 x}],\\
+\frac{d y_2}{d t}=-\sech^2{y}[a_1 N_1\sin{(N_1 x-\omega_1 t)}+
+a_2 N_2\sin{N_2 x}].
+\end{gathered}
+\label{system1}
+\end{equation}
+%
+Грубая оценка (при $a_2\approx 0$) максимальной зональной скорости:
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\frac{d x_2}{d t}=-C_1+1.
+\end{gathered}
+\label{velos1}
+\end{equation}
+%
+Соответственно, максимальная частота $f_{2}=-C_1+1$.
+Условие баллистического резонанса для центральной области имеет вид\footnote{Michael: Упрости выражение.}:
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\frac{f_{2}}{\omega_1}=(1-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)})/
+(\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_1)=k_2.
+\end{gathered}
+\label{rez1s}
+\end{equation}
+%
+На рис.~\ref{kk0.5} приведены диаграммы функций $k_1(N_1,N_2)$ и $k_2(N_1,N_2)$,
+которые будут полезны при выборе $N1$ и $N2$, и анализе
+результатов численного моделирования адвекции.
+%
+\begin{figure}[!htb]
+\begin{center}
+%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k105.eps}
+%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k205.eps}
+\caption{$k1=k2=0.5$.}
+\end{center}
+\label{kk0.5}
+\end{figure}
+%
+%
+\begin{figure}[!htb]
+\begin{center}
+%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k11.eps}
+%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k21.eps}
+\caption{$k1=k2=1.0$.}
+\end{center}
+\label{kk1}
+\end{figure}
+%
+%
+\begin{figure}[!htb]
+\begin{center}
+%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k115.eps}
+%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k215.eps}
+\caption{$k1=k2=1.5$.}
+\end{center}
+\label{kk1.5}
+\end{figure}
+%
+%
+\begin{figure}[!htb]
+\begin{center}
+%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k12.eps}
+%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k22.eps}
+\caption{$k1=k2=2$.}
+\end{center}
+\label{kk2}
+\end{figure}
+%
+
+Если отношение $N_1/N_2$ сократимо на некототорое число $m$, то истинный порядок резонанса не $k$, а $mk$.
+Порядок резонанса определяется отношением $f$ к $\omega$. Для кратных $N_{1,2}$ $f$ в $m$ раз больше, чем
+$1-C$, так как истинная длина фрейма (та длина, на которую укладывается целое число длин обеих волн) равна
+$2\pi/m$, а не $2\pi$. То есть $f_\text{true}=mf$, $k_\text{true}=f_\text{true}/\omega$ и, следовательно,
+$k_\text{true}=mk$\footnote{Michael: Проверь это по графикам.}. Так как $k$ инвариантно относительно преобразования
+(\ref{Psi3}), то при пользовании графиками для кратных $N_{1,2}$ нужно смотреть график для сокращённых $N_{1,2}$, но
+при в $m$ раз большем $k$\footnote{Michael: Ну, надеюсь, понятно.}.
+
+При нечётных $N_1$ и $N_2$ уравнения движения (\ref{system}), (\ref{system1}) имеют симметрию
+%
+\begin{equation}
+\hat S:\left\{
+\begin{aligned}
+x'&=\pi+x,\\
+y'&=-y
+\end{aligned}\right.
+\label{*}
+\end{equation}
+%
+и time reversal симметрию
+%
+\begin{equation}
+\hat I_0:\left\{
+\begin{aligned}
+x'&=-x,\\
+y'&=y.
+\end{aligned}\right.
+\label{**}
+\end{equation}
+%
+Эти симметрии являются инволюциями, т.~е. $\hat S^2=1$ and $\hat I_0^2=1$.
+Решая уравнение
+%
+\begin{equation}
+\hat I_0(x_j, y_j)=\hat S(x_j, y_j),
+\label{ind1}
+\end{equation}
+%
+где $j$ номер индикаторной точки, находим координаты индикаторных точек,
+итерации которых позволяют построить центральную инвариантную кривую:
+($x_1=\pi/2$, $y_1=0$) and ($x_2=3\pi/2$, $y_2=0$).
+
+\subsection{Диаграммы параметров}
+
+Для набора пар нечётных волновых чисел ($N_1-N_2$, $N_1>N_2$,
+$N_1,N_2\in[1,11]$) построены диаграммы характеристик
+$CIC$ в зависимости от амплитуд волн Россби.
+Нечётные значения $N_1-N_2$ рассматриваются из-за особенностей
+численного алгоритма, основанного на свойствах симметрии потока.
+На диаграммах хорошо различима граница разрушения (``критическая граница'')
+$CIC$. Критерием окончания счёта каждой из диаграмм является достижение в
+численном эксперименте максимального времени счёта $t_{max}=5000$ периодов
+возмущения. Т.е. счёт не прекращается даже если $CIC$ разрушена - таким
+образом, на выходе мы получаем информацию о свойствах центральной
+хаотической струи. Центральная хаотическая струя - область центрального
+потока, образующаяся на месте разрушенной $CIC$ и окружавших её инвариантных
+кривых. О существовании центральной хаотической струи стоит рассуждать
+когда мы находимся далеко от границ разрушения $CIC$ на приведённых
+диаграммах.
+
+В обозначениях файлов: $L$ - длина $CIC$; $y_{max}$ - модуль максимального
+отклонения $CIC$ (высота горба); $d$ - площадь центральной стохастической
+струи (область потока которую заметают точки сечения Пуанкаре
+разрушенной $CIC$); $wind number$ - число обращений
+(= (число фреймов)/(число периодов возмущения)).
+
+Предварительный анализ диаграмм чисел обращения указывает, что в допустимом
+интервале значений амплитуд волн Россби (при больших значениях происходит
+изменение топологии потока) спайки (т.е. разрушение $CIC$) наблюдаются при
+пересоединении многообразий полуцелых резонансов. Подтверждением этого
+служит тот факт, что $wind number$ у спайков на всех приведённых картах
+меньше единицы и находятся в интервале значений $[0.7:0.3]$.
+Т.о. резонансное разрушение $CIC$ крайне чувствительно к выбору
+амплитуд и волновых чисел.
+
+Рассмотрим случай $5-1$.
+Диаграммы параметров: $5_1L.bmp, 5_1y.bmp, 5_1wind number.bmp$.
+На последней диаграмме хорошо разрешим спайк при $a_1=[0.23:0.25]$, и
+амплитуде возмущения $a_2=0.1$ и с числом вращения ~[0.4:0.45].
+На рис. $line_51.eps$, приведён срез диаграмм для $a_1=[0.23:0.27]$,
+$a_2=0.1$. Далее строится сечение Пуанкаре для параметров при которых
+разрушена $CIC$ (см. рис.$5_1pu$ ) $a_1=0.2415$, $a_2=0.1$. Синие точки
+следы баллистических (относительно выбранной системы отсчёта) траекторий,
+зелёные - хаотических, красные осцилляторных, чётные точки - следы
+хаотической траектории с НУ $CIC$ (индикаторная точка).
+На рис. $5_1wind.eps$ (верхняя панель) приведён профиль числа обращения
+для отрезка $x=0.6$, $y=[-0.9:-0.3]$ ($a_1=0.2415$, $a_2=0.1$).
+Синие точки соответствуют начальным траекториям с НУ попавшими на остров
+баллистического резонанса $7:3$ ($wind number = 3/7$ - частица в острове
+пролетает 3 фрейма за 7 периодов возмущения) вблизи $CIC$.
+На рис.$5_1freqmap.bmp$ приведена частотная карта стационарного
+потока ($a_2=0$, $a_1=0.2415$).
+На рис. $5_1pupoint.eps$ - приведёно сечение Пуанкаре (жирные точки)
+и траектория для частицы (зелёная кривая) с НУ на острове баллистического
+резонанса $7:3$.
+На сечениях Пуанкаре рис. $5_1CIC.eps$ и $5_1CIC_reconnection.eps$
+показаны метаморфозы $CIC$ и близких инвариантных кривых при пересоединении
+многообразий островов баллистического резонанса $7:3$.
+
+Вывод: показано что разрушение $CIC$ (как транспортного барьера) возможно
+при малых амплитудах возмущения ($a_1>a_2$ и $N_1>N_2$).
+Причина разрушения - резонансный характер взаимодействия стационарной
+системы (сдвиговый поток + волна Россби) и внешнего возмущения
+(вторая волна Россби). Такое разрушение наблюдается не для всех пар
+$N_1$ и $N_2$, т.к. частоты стационарной системы и возмущения зависят от
+$N_1$ и $N_2$. + указать наиболее удачные пары и амплитуды.
+
+Для наблюдения разрушения $CIC$ и пересоединения многообразий в
+эксперименте необходимо, например, создать поток с $N_1=5$ и $N_2=1$
+и амплитудами волн $a_1=[0.24, 0.244]$ и $a_2=0.1$. При вариации амплитуды
+первой волны в указанном диапазоне значений на фотографиях ожидаются
+изображения подобные на рис. $5_1CIC.eps$ и $5_1CICreconnection.eps$.
+Важно отметить, что наши результаты применимы для интерпретации
+эксперимента лишь, тогда, когда применимо уравнение Релея-Куо
+для описания динамики потока. Остаётся открытым технический вопрос
+о визуализации центральной стохастической струи.
+
+Дальнейшее исследование направлено на изучение топологии центральной
+стохастической струи (расчёт её площади в зависимости от амплитуд волн).
+Интерес представляет неоднородная окраска областей разрушенной $CIC$ на
+$L$ и $d$-диаграммах. Также планируется исследование потоков с чётно-нечётными
+парами волновых чисел.
+Анализ площадей -
+Чётно-нечётные пары - граница перехода, СП, связь с аналитической
+оценкой резонансных условий.
+
++ ? бифуркации стох. слоя.
+
+\end{document}
+