2 changed files with 356 additions and 0 deletions
@ -0,0 +1,217 @@
|
||||
\documentclass[12pt]{article} |
||||
\usepackage{graphicx} |
||||
\usepackage{color} |
||||
\usepackage[utf8]{inputenc} |
||||
\usepackage[T2A]{fontenc} |
||||
\usepackage[russian]{babel} |
||||
\usepackage{amsmath} |
||||
\usepackage{amssymb} |
||||
|
||||
\topmargin=-1.8cm |
||||
\oddsidemargin=-15mm |
||||
\evensidemargin=-15mm |
||||
\textheight=24.5cm |
||||
\textwidth=19cm |
||||
\tolerance=1000 |
||||
|
||||
\parskip=5pt plus 4pt minus 2pt |
||||
\tolerance=9000 |
||||
% |
||||
\title{Интерполяция полей скорости} |
||||
\begin{document} |
||||
\maketitle |
||||
\section{Координаты и уравнения движения} |
||||
Пусть у нас задано поле скорости $(u_{i,j},v_{i,j})$ на некоторой двумерной сетке $(\lambda_{i,j},\varphi_{i,j})$, $i=0,1,\dots,N_x$, $j=0,1,\dots,N_y$, $\lambda_{i,j}$~--- долгота, $\varphi_{i,j}$~--- широта. Мы предполагаем, что эта сетка может быть преобразована к прямоугольному виду, то есть существуют такие функции $X(\lambda,\varphi)$ и $Y(\lambda,\varphi)$, что $x_{i,j}=X(\lambda_{i,j},\varphi_{i,j})=i\Delta x$ и $y_{i,j}=Y(\lambda_{i,j},\varphi_{i,j})=j\Delta y$, где $\Delta x$, $\Delta y$~--- некоторые постоянные числа. Проще говоря, существуют координаты, в которых наша сетка имеет простой прямоугольный вид. В самом простом случае сетка $(\lambda_{i,j},\varphi_{i,j})$ уже имеет прямоугольный вид. Но, для глобальных полей такую сетку не используют в силу сингулярности на Северном полюсе и зависимости разрешения от широты. Сами скорости задаются обычно в см/сек. Однако, для описания крупномасштабных процессов это неудобно и лучше использовать скорости, выраженные в км/сут |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
1\,\frac{\text{см}}{\text{сек}}=\frac{10^{-5}\,\text{км}}{\frac{1}{24*3600}\,\text{сут}}=0{,}864\frac{\text{км}}{\text{сут}}. |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
|
||||
Есть несколько возможных подходов к написанию лагранжевых уравнений адвекции. |
||||
% |
||||
\begin{enumerate} |
||||
\item Не преобразовывать ни скорости, ни координаты. Уравнения адвекции выглядят следующим образом: |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\dot\lambda=\frac{10800\cos{\varphi}}{\pi R}u,\quad \dot\varphi=\frac{10800}{\pi R}v, |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
где $R$~--- радиус Земли. Широта и долготы выражены в минутах, время~--- в сутках, $u$ и $v$~--- в км/сут. Коэффициент $\frac{\pi R}{10800}$ примерно равен морской миле~--- $1{,}852$ км.\\ |
||||
{\em Плюсы:} нет необходимости в каких-либо преобразованиях координат, входные и выходные данные задаются непосредственно в географических координатах.\\ |
||||
{\em Минусы:} вычисление косинуса на каждом шаге~--- затратная операция, в случае непрямоугольной сетки определение ячейки, в которой находятся текущие координаты (необходимо для нахождения интерполированых скоростей), является непростой операцией. |
||||
\item Перейдя от линейных скоростей в правой части к угловым, мы получаем максимально простые уравнения адвекции |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\dot\lambda=u,\quad \dot\varphi=v. |
||||
\label{maineq} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Здесь $u$ и $v$ выражены в мин/сут.\\ |
||||
{\em Плюсы:} те же, что и у первого способа, быстрое численное интегрирование уравнений.\\ |
||||
{\em Минусы:} всё те же проблемы с непрямоугольными сетками. |
||||
\item Преобразовать координаты и скорости в прямоугольную сетку. |
||||
Уравнения движения будут иметь тот же вид, что и в предыдущем случае, но для некоторых абстрактных координат и скоростей. |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\dot x=u,\quad \dot y=v. |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
{\em Плюсы:} максимально простое и быстрое численное интегрирование.\\ |
||||
{\em Минусы:} мы считаем в абстрактных координатах, следовательно, все входные и выходные данные должны преобразовываться. Кроме этого, при данном подходе неудобно рассчитывать различные интегральные функции от траектории (например, её длину) из-за необходимости преобразования метрики на каждом шаге, что может сильно увеличить время счёта. |
||||
\end{enumerate} |
||||
% |
||||
Мы считаем последним способом ещё и потому, что в этом случае програмный код получается универсальным и не зависит от реальной сетки $(\lambda_{ij},\varphi_{ij})$. |
||||
|
||||
\section{Интерполяция} |
||||
Поле скорости у нас задано только на сетке $(x_{i,j},y_{i,j},t_k)$, однако, для интегрирования уравнений адвекции необходимы значения скорости в произвольной точке пространства $(x,y)$ и в произвольный момент времени $t$. Для нахождения этих значений используются различные методы интерполяции. Мы используем два: линейную и бикубическую интерполяцию в пространстве и линейную и кубическими полиномами третьего порядка во времени. |
||||
\subsection{Интерполяция в пространстве} |
||||
Рассмотрим отдельную ячейку нашей пространственной сетки единичной ширины и высоты (это всегда можно сделать соответствующей нормировкой). В четырёх углах углах ячейки нам известны значения некоторой функции $z(x,y)$, а именно $z(0,0)=z_{00}$, $z(1,0)=z_{10}$, $z(0,1)=z_{01}$, $z(1,1)=z_{11}$ (см. Рис.~\ref{Fig-cell}) |
||||
% |
||||
\begin{figure}[!htb] |
||||
\begin{center} |
||||
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{net.eps} |
||||
\caption{Элементарная ячейка сетки, в которой производится интерполяция.} |
||||
\label{Fig-cell} |
||||
\end{center} |
||||
\end{figure} |
||||
% |
||||
Рассмотрим сперва линейную интерполяцию. В этом случае мы считаем, что функция $z(x,y)$ является линейной вдоль любой вертикальной или горизонтальной линии. Соответственно, мы можем найти $z(x,y)$, найдя сперва $z(x,0)$, $z(x,1)$ (или $z(0,y)$, $z(1,y)$, результат будет тот же) |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
z(x,0)=(z(1,0)-z(0,0))x+z(0,0)=(z_{10}-z_{00})x+z_{00},\\ |
||||
z(x,1)=(z(1,1)-z(0,1))x+z(0,1)=(z_{11}-z_{01})x+z_{01},\\ |
||||
z(x,y)=(z(x,1)-z(x,0))y+z(x,0)=axy+bx+cy+d,\\ |
||||
a=z_{11}-z_{01}-z_{10}+z_{00},\quad b=z_{10}-z_{00},\quad c=z_{01}-z_{00},\quad d=z_{00}. |
||||
\end{gathered} |
||||
\label{linint} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Таким образом, несмотря на название метода, интерполирующая функция является нелинейной. Линейная интерполяция обеспечивает непрерывность функции $z(x,y)$ при пересечении границ ячейки, но её производные разрывны на этих границах. |
||||
|
||||
Интерполирующая функция для бикубической интерполяции имеет вид |
||||
% |
||||
\begin{multline} |
||||
z(x,y)=a_{00}+a_{10}x+a_{20}x^2+a_{30}x^3+a_{01}y+a_{11}xy+a_{21}x^2y+a_{31}x^3y+\\ |
||||
+a_{02}y^2+a_{12}xy^2+a_{22}x^2y^2+a_{32}x^3y^2+a_{03}y^3+a_{13}xy^3+a_{23}x^2y^3+a_{33}x^3y^3 |
||||
\label{bicubic} |
||||
\end{multline} |
||||
% |
||||
и содержит $16$ коэффициентов. Для их нахождения необходимо знать не только значения функции на сетке, но и значения производных $\partial z/\partial x$, $\partial z/\partial y$ и $\partial^2 z/\partial x \partial y$. Так как мы имеем только сами значения функции, нам необходимо найти эти производные путём численного дифференцирования |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{aligned} |
||||
\frac{\partial z}{\partial x}&=z^x_{i,j}=\frac{z_{i+1,j}-z_{i-1,j}}{2},\\ |
||||
\frac{\partial z}{\partial y}&=z^y_{i,j}=\frac{z_{i,j+1}-z_{i,j-1}}{2},\\ |
||||
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}&=z^{xy}_{i,j}=\frac{z^y_{i+1,j}-z^y_{i-1,j}}{2}. |
||||
\end{aligned} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
В точках, где использование центральных разностей невозможно (вблизи границ сетки или около берега), используются правые или левые разности. Таким образом, для каждой ячейки сетки мы получаем $16$ значений функции, её первых производных и смешаной второй производной в углах ячейки. Коэффициенты интерполирующей функции получаются следующим образом |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
a_{00}=z_{00},\quad |
||||
a_{01}=z^y_{00},\quad |
||||
a_{02}=3(z_{01}-z_{00})-2z^y_{00}-z^y_{01},\quad |
||||
a_{03}=2(z_{00}-z_{01})+z^y_{00}+z^y_{01},\\ |
||||
a_{10}=z^x_{00},\quad |
||||
a_{11}=z^{xy}_{00},\quad |
||||
a_{12}=3(z^x_{01}-z^x_{00})-2z^{xy}_{00}-z^{xy}_{01},\quad |
||||
a_{13}=2(z^x_{00}-z^x_{01})+z^{xy}_{00}+z^{xy}_{01},\\ |
||||
a_{20}=3(z_{10}-z_{00})-2z^x_{00}-z^x_{10},\quad |
||||
a_{21}=3(z^y_{10}-z^y_{00})-2z^{xy}_{00}-z^{xy}_{10},\\ |
||||
\begin{aligned} |
||||
a_{22}=9(z_{00}-z_{01}-z_{10}+z_{11})&+6(z^x_{00}-z^x_{01}+z^y_{00}-z^y_{10})+{}\\ |
||||
{}&+3(z^x_{10}-z^x_{11}+z^y_{01}-z^y_{11})+2(z^{xy}_{01}+z^{xy}_{10})+4z^{xy}_{00}+z^{xy}_{11}, |
||||
\end{aligned}\\ |
||||
\begin{aligned} |
||||
a_{23}=6(z_{01}+z_{10}-z_{00}-z_{11})+4(z^x_{01}-z^x_{00})&+3(z^y_{10}+z^y_{11}-z^y_{00}-z^y_{01})+{}\\ |
||||
{}&+2(z^x_{11}-z^x_{10}-z^{xy}_{00}-z^{xy}_{01})-z^{xy}_{10}-z^{xy}_{11}, |
||||
\end{aligned}\\ |
||||
a_{30}=2(z_{00}-z_{10})+z^x_{00}+z^x_{10},\quad |
||||
a_{31}=2(z^y_{00}-z^y_{10})+z^{xy}_{00}+z^{xy}_{10},\\ |
||||
\begin{aligned} |
||||
a_{32}=6(z_{01}+z_{10}-z_{00}-z_{11})+4(z^y_{10}-z^y_{00})&+3(z^x_{01}+z^x_{11}-z^x_{00}-z^x_{10})+{}\\ |
||||
{}&+2(z^y_{11}-z^y_{01}-z^{xy}_{00}-z^{xy}_{10})-z^{xy}_{01}-z^{xy}_{11},\\ |
||||
\end{aligned}\\ |
||||
\begin{aligned} |
||||
a_{33}=4(z_{00}-z_{01}-z_{10}+z_{11})+2(z^x_{00}-z^x_{01}+z^x_{10}-z^x_{11}+z^y_{00}&-z^y_{10}+z^y_{01}-z^y_{11})+{}\\ |
||||
{}&+z^{xy}_{00}+z^{xy}_{01}+z^{xy}_{10}+z^{xy}_{11}. |
||||
\end{aligned} |
||||
\end{gathered} |
||||
\label{bicub_coeff} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Из-за более сложных формул, бикубическая интерполяция работает существенно медленнее линейной. |
||||
|
||||
\subsection{Интерполяция во времени} |
||||
Так как нам нужно получать значения скоростей не только в произвольном месте, но и в произвольное время, необходимо делать дополнительно интерполяцию во времени. Эта задача существенно проще пространственной интерполяции, так как в данном случае мы имеем дело с одномерной функцией. Простейший вид интерполяции~--- линейный |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
z(x,y,t)=\frac{z(x,y,t_{k+1})-z(x,y,t_k)}{\Delta t} (t-t_k)+z(x,y,t_k). |
||||
\label{lint} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
где $\Delta t$~--- шаг сетки по времени. |
||||
|
||||
Мы также используем интерполяцию кубическими полиномами Лагранжа\footnote{Полином Лагранжа степени $n$~--- это такой полином, который в $n+1$ точке имеет заданные значения.}. Для $t\in[t_k:t_{k+1}]$ мы имеем |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
z(x,y,t)=a_0(x,y)+a_1(x,y)t+a_2(x,y)t^2+a_3(x,y)t^3. |
||||
\label{cubt} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
Коэффициенты $a_i(x,y)$ рассчитываются из значений $z_i=z(x,y,t_i)$, которые, в свою очередь, находятся пространственной интерполяцией |
||||
% |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{gathered} |
||||
a_0=z_k,\qquad |
||||
a_1=\left\{ |
||||
\begin{aligned} |
||||
-&\frac{11}{6}z_k+3z_{k+1}-\frac{3}{2}z_{k+2}+\frac{1}{3}z_{k+3}, &k&=0,\\ |
||||
-&\frac{1}{3}z_{k-1}-\frac{1}{2}z_k+z_{k+1}-\frac{1}{6}z_{k+2}, &k&\in[1:N_t-2],\\ |
||||
&\frac{1}{6}z_{k-2}-z_{k-1}+\frac{1}{2}z_k+\frac{1}{3}z_{k+1}, &k&=N_t-1, |
||||
\end{aligned}\right.\\ |
||||
a_2=\left\{ |
||||
\begin{aligned} |
||||
&z_k-\frac{5}{2}z_{k+1}+2z_{k+2}-\frac{1}{2}z_{k+3}, &k&=0,\\ |
||||
&\frac{1}{2}z_{k-1}-z_k+\frac{1}{2}z_{k+1}, &k&\geqslant 1, |
||||
\end{aligned}\right.\quad |
||||
a_3=\left\{ |
||||
\begin{aligned} |
||||
-&\frac{1}{6}z_k+\frac{1}{2}z_{k+1}-\frac{1}{2}z_{k+2}+\frac{1}{6}z_{k+3}, &k&=0,\\ |
||||
-&\frac{1}{6}z_{k-1}+\frac{1}{2}z_k-\frac{1}{2}z_{k+1}+\frac{1}{6}z_{k+2}, &k&\in[1:N_t-2],\\ |
||||
-&\frac{1}{6}z_{k-2}+\frac{1}{2}z_{k-1}-\frac{1}{2}z_k+\frac{1}{6}z_{k+1}, &k&=N_t-1. |
||||
\end{aligned}\right. |
||||
\end{gathered} |
||||
\end{equation} |
||||
% |
||||
|
||||
\section{Общий алгоритм} |
||||
\begin{enumerate} |
||||
\item Скорости и координаты преобразуются в прямоугольную сетку. Создаётся файл для интерполяции, содержащий информацию о сетке (число шагов $N_x$, $N_y$, $N_t$ и величина шага $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta t$ по каждой координате и времени) и скорости. Можно представить себе сетку как стопку плоскостей, расчерченых на прямоугольники. Каждая плоскость~--- это карта скоростей в фиксированый момент времени. |
||||
\item Для расчёта мы используем либо линейную интерполяцию в пространстве и времени, либо бикубическую в пространстве и полиномиальную во времени. Каждая компонента скорости интерполируется независимо от другой. |
||||
\begin{enumerate} |
||||
\item Определяем ячейку $(i,j,k)$, в которой находится точка $(X,Y,T)$ и нормированые координаты внутри этой ячейки |
||||
\begin{equation} |
||||
\begin{aligned} |
||||
i&=[X/\Delta x], &j&=[Y/\Delta y], &k&=[T/\Delta t],\\ x&=\frac{X-i\Delta x}{\Delta x}, &y&=\frac{Y-j\Delta y}{\Delta y}, &t&=\frac{T-k\Delta t}{\Delta t}, |
||||
\end{aligned} |
||||
\end{equation} |
||||
где $[r]$~--- целая часть числа $r$. |
||||
\item По формуле \eqref{linint} находим значения $u$ и $v$ на верхней и нижней гранях ячейки в точке $(x,y)$. |
||||
\item По формуле \eqref{lint} находим значения $u$ и $v$ в точке $(x,y,t)$. |
||||
\end{enumerate} |
||||
Для второго метода алгоритм чуть сложнее. |
||||
\begin{enumerate} |
||||
\item Ячейка и нормированые координаты находятся так же, как и в первом случае. |
||||
\item Для четырёх временных плоскостей, ближайших к $T$, находятся по формуле \eqref{bicub_coeff} коэффициенты бикубического полинома \eqref{bicubic}\footnote{На самом деле они рассчитываются только один раз для каждого квадратика на плоскости, а потом хранятся в памяти. Пересчёт их при каждом определении скоростей~--- слишком дорогое удовольствие.}. |
||||
\item Рассчитываются по формуле \eqref{bicubic} значения скоростей в точке $(x,y)$ на четырёх временных плоскостях. |
||||
\item Скорости окончательно рассчитываются по формуле \eqref{cubt}. |
||||
\end{enumerate} |
||||
\item Полученные скорости подставляются в уравнение \eqref{maineq} и интегрируются. |
||||
\item Выходные данные либо используются как есть (для анализа), либо трансформируются обратно в географические координаты (для статей). |
||||
\end{enumerate} |
||||
\end{document} |
||||
@ -0,0 +1,139 @@
|
||||
%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0 |
||||
%%Title: net.eps |
||||
%%BoundingBox: 85 85 210 215 |
||||
%%EndComments |
||||
gsave |
||||
100 100 translate |
||||
10 dict begin |
||||
/l 100 def |
||||
/r 3 def |
||||
/mlw 0.5 def |
||||
/r0 2 def |
||||
/rs 1.5 def |
||||
/x 0.45 def |
||||
/y 0.7 def |
||||
/dlw 0.5 def |
||||
/dash [ 2 2 ] def |
||||
/fs 15 def |
||||
/sfs fs 0.5 mul def |
||||
/dn fs -0.1 mul def |
||||
/shb -4 def |
||||
/shu 6 def |
||||
|
||||
/strparams {20 dict begin /inp exch def gsave newpath 0 0 moveto |
||||
/stringtype {inp false charpath} def |
||||
/arraytype |
||||
{ |
||||
inp {dup dup 0 get findfont exch 1 get scalefont setfont |
||||
dup 2 get /x exch def dup 3 get /y exch def |
||||
dup 5 get {x y rmoveto 4 get false charpath}{pop} ifelse |
||||
} forall |
||||
} def |
||||
inp type exec pathbbox |
||||
/ury exch def /urx exch def /lly exch def /llx exch def |
||||
% Return values |
||||
urx llx sub ury lly sub llx neg lly neg |
||||
grestore end} def |
||||
/GetParam { 3 dict begin |
||||
/default exch def /key exch def /dict exch def |
||||
dict key known {dict key get}{default} ifelse |
||||
end |
||||
} def |
||||
/Show {20 dict begin /Params exch def /String exch def |
||||
/HAlign Params /HAlign -1 GetParam def |
||||
/VAlign Params /VAlign -1 GetParam def |
||||
/UseHShift Params /UseHShift false GetParam def |
||||
/UseVShift Params /UseVShift false GetParam def |
||||
String strparams /VShift exch def /HShift exch def /Height exch def /Width exch def |
||||
% Correct HAlign and VAlign |
||||
HAlign 0 lt {/HAlign -1 def}{} ifelse HAlign 0 gt {/HAlign 1 def}{} ifelse |
||||
VAlign 0 lt {/VAlign -1 def}{} ifelse VAlign 0 gt {/VAlign 1 def}{} ifelse |
||||
% Move initial point |
||||
UseHShift {HShift 0 rmoveto}{} ifelse UseVShift {0 VShift rmoveto}{} ifelse |
||||
HAlign 0 eq {Width -0.5 mul 0 rmoveto}{} ifelse HAlign 1 eq {Width neg 0 rmoveto}{} ifelse |
||||
VAlign 0 eq {0 Height -0.5 mul rmoveto}{} ifelse VAlign 1 eq {0 Height neg rmoveto}{} ifelse |
||||
/stringtype {show} def |
||||
/arraytype {{ |
||||
dup dup 0 get findfont exch 1 get scalefont setfont currentpoint 3 -1 roll dup dup 2 get exch 3 get rmoveto dup 4 get show |
||||
dup length 5 eq {pop pop pop}{ |
||||
dup length 6 eq {5 get {pop pop}{moveto} ifelse}{ |
||||
dup 5 get exch 6 get currentpoint 4 -2 roll % x0 y0 x y ux uy |
||||
{1}{3}ifelse index exch % x0 y0 x y ye ux |
||||
{2}{4}ifelse index exch %x0 y0 x y xe ye |
||||
moveto pop pop pop pop |
||||
}ifelse}ifelse |
||||
}forall} def |
||||
String dup type exec |
||||
end} def |
||||
|
||||
|
||||
0 setgray |
||||
|
||||
newpath |
||||
0 0 r 0 360 arc |
||||
fill |
||||
newpath |
||||
0 l r 0 360 arc |
||||
fill |
||||
newpath |
||||
l l r 0 360 arc |
||||
fill |
||||
newpath |
||||
l 0 r 0 360 arc |
||||
fill |
||||
newpath |
||||
x l mul y l mul r0 0 360 arc |
||||
fill |
||||
newpath |
||||
x l mul 0 rs 0 360 arc |
||||
fill |
||||
newpath |
||||
0 y l mul rs 0 360 arc |
||||
fill |
||||
|
||||
mlw setlinewidth |
||||
newpath |
||||
0 0 moveto |
||||
0 l lineto |
||||
l l lineto |
||||
l 0 lineto |
||||
0 0 lineto |
||||
stroke |
||||
|
||||
dlw setlinewidth |
||||
dash 0 setdash |
||||
newpath |
||||
x l mul 0 moveto |
||||
x l mul y l mul lineto |
||||
0 y l mul lineto |
||||
stroke |
||||
|
||||
0 0 moveto [ |
||||
[ /Times-Italic fs 0 shb (z) true] |
||||
[ /Times-Italic sfs 0 dn (00) true] |
||||
] << /HAlign 0 /VAlign 1>> Show |
||||
l 0 moveto [ |
||||
[ /Times-Italic fs 0 shb (z) true] |
||||
[ /Times-Italic sfs 0 dn (10) true] |
||||
] << /HAlign 0 /VAlign 1>> Show |
||||
0 l moveto [ |
||||
[ /Times-Italic fs 0 shu (z) true] |
||||
[ /Times-Italic sfs 0 dn (01) true] |
||||
] << /HAlign 0 /VAlign -1>> Show |
||||
l l moveto [ |
||||
[ /Times-Italic fs 0 shu (z) true] |
||||
[ /Times-Italic sfs 0 dn (11) true] |
||||
] << /HAlign 0 /VAlign -1>> Show |
||||
l x mul 0 moveto [ |
||||
[ /Times-Italic fs 0 shb (x) true] |
||||
] << /HAlign 0 /VAlign 1>> Show |
||||
0 l y mul moveto [ |
||||
[ /Times-Italic fs -3 0 (y) true] |
||||
] << /HAlign 1 /VAlign 0>> Show |
||||
l x mul l y mul moveto [ |
||||
[ /Times-Italic fs 3 3 (z) true] |
||||
] << /HAlign -1 /VAlign -1>> Show |
||||
|
||||
end |
||||
grestore |
||||
%%EOF |
||||
Loading…
Reference in new issue