\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{mathptmx}
\renewcommand{\rmdefault}{cmr}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage[russian]{babel}

\topmargin=-1.8cm
\oddsidemargin=-5mm
\evensidemargin=-5mm
\textheight=24.5cm
\textwidth=18cm

\tolerance=700

\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
%\newcommand{\mstack}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}}
\DeclareMathOperator{\arccosh}{arccosh}
\DeclareMathOperator{\arcsech}{arcsech}
\DeclareMathOperator{\sech}{sech}

\parindent=0cm

\title{Линейный анализ гиперболической периодической орбиты в системе с меандрирующим потоком}
\begin{document}
\section{Линеаризация уравнений}
Мы имеем следующие уравнения движения
%
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot x&=\frac{1}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}\ch^2\theta}-C=X(x,y),\\
\dot y&=-\frac{A(\tau)\sin x(1+A(\tau)^2-A(\tau)y\cos x)}{L\left(1+A(\tau)^2\sin^2 x\right)^{3/2}\ch^2\theta}=Y(x,y),
\end{aligned}\qquad
\begin{gathered}
\theta=\frac{y-A(\tau)\cos x}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}},\\
A(\tau)=A_0+\epsilon\cos{(\omega\tau+\phi)}.
\end{gathered}
\label{dots_nonlin}
\end{equation}
%
Введём обозначения
%
\begin{equation}
\begin{aligned}
X_x(x,y)&=\frac{\partial X(x,y)}{\partial x},&
X_y(x,y)&=\frac{\partial X(x,y)}{\partial y},\\
Y_x(x,y)&=\frac{\partial Y(x,y)}{\partial x},&
Y_y(x,y)&=\frac{\partial Y(x,y)}{\partial y}.
\end{aligned}
\label{defs_xy}
\end{equation}
%
Линеаризуем систему (\ref{dots_nonlin}) в окрестности стационарной точки
%
\begin{equation}
x_0=0,\quad y_0=L\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}+A_0.
\label{zero_point}
\end{equation}
%
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\eta=x-x_0,\qquad \xi=y-y_0,\\
\begin{aligned}
\dot \eta&=X(x_0,y_0)+X_x(x_0,y_0)\eta+X_y(x_0,y_0)\xi,\\
\dot \xi&=Y(x_0,y_0)+Y_x(x_0,y_0)\eta+Y_y(x_0,y_0)\xi.
\end{aligned}
\end{gathered}
\label{dots_lin_gen}
\end{equation}
%
Пропуская громоздкие вычисления, запишем результат:
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\Phi=\omega\tau+\phi,\quad
\Theta=\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}-\frac{\epsilon\cos\Phi}{L},\\
X(x_0,y_0)=\frac{1}{L\ch^2\Theta}-C,\quad
Y(x_0,y_0)=0,\\
X_x(x_0,y_0)=Y_y(x_0,y_0)=0,\quad
X_y(x_0,y_0)=-\frac{2\tanh\Theta}{L^2\ch^2\Theta},\quad
Y_x(x_0,y_0)=\frac{A(AL\Theta-1)}{L\ch^2\Theta}.
\end{gathered}
\label{Coeff_lin}
\end{equation}
%
В силу малости $\epsilon$ можно существенно упростить систему (\ref{dots_lin_gen}), разложив правые части в ряд по $\epsilon\cos\Phi$ и оставив только линейные члены. Введём обозначения
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
X_0=\lim_{\epsilon\to 0}X(x_0,y_0),\quad
X_{y0}=\lim_{\epsilon\to 0}X_y(x_0,y_0),\quad
Y_{x0}=\lim_{\epsilon\to 0}Y_x(x_0,y_0),\\
X_\epsilon=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\partial X(x_0,y_0)}{\partial (\epsilon\cos\Phi)},\quad
X_{y\epsilon}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\partial X_y(x_0,y_0)}{\partial (\epsilon\cos\Phi)},\quad
Y_{x\epsilon}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\partial Y_x(x_0,y_0)}{\partial (\epsilon\cos\Phi)}.
\end{gathered}
\label{defs_xyeps}
\end{equation}
%
После преобразования система (\ref{dots_lin_gen}) выглядит так
%
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot \eta&=X_0+X_{y0}\xi+\epsilon\cos\Phi(X_\epsilon+X_{y\epsilon}\xi),\\
\dot \xi&=(Y_{x0}+\epsilon\cos\Phi Y_{x\epsilon})\eta.
\end{aligned}
\label{dots_lin_lin}
\end{equation}
%
Явный вид параметров (\ref{defs_xyeps})
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
X_0=0,\quad
X_{y0}=-\frac{2C\sqrt{1-LC}}{L},\quad
Y_{x0}=A_0C\left(A_0L\arcsech\sqrt{LC}-1\right),\\
X_\epsilon=\frac{2C\sqrt{1-LC}}{L},\quad
X_{y\epsilon}=\frac{2C(3LC-2)}{L^2},\\
Y_{x\epsilon}=\frac{C\left(2A_0L\left(L+A_0\sqrt{1-LC}\right)\arcsech\sqrt{LC}-2A_0\sqrt{1-LC}-L(1+A_0^2)\right)}{L}.
\end{gathered}
\label{Coeff_lin_lin}
\end{equation}
%
Однако, можно пойти ещё дальше. Продифференцируем первое уравнение системы (\ref{dots_lin_lin}) по $\tau$
%
\begin{equation}
\ddot\eta=X_{y0}\dot\xi-\epsilon\omega\sin\Phi(X_\epsilon+X_{y\epsilon}\xi)+X_{y\epsilon}\epsilon\cos\Phi\dot\xi.
\label{ddots_beg}
\end{equation}
%
Из первого уравнения системы (\ref{dots_lin_lin}) выразим $\xi$
%
\begin{equation}
\xi=\frac{\dot\eta-\epsilon X_\epsilon\cos\Phi}{X_{y0}+\epsilon X_{y\epsilon}\cos\Phi}\approx
\frac{\dot\eta}{X_{y0}}-\epsilon\frac{X_{y\epsilon}\dot\eta+X_\epsilon X_{y0}}{X_{y0}^2}\cos\Phi.
\label{xi}
\end{equation}
%
Подставим второе уравнение системы (\ref{dots_lin_lin}) и уравнение (\ref{xi}) в (\ref{ddots_beg}), отбросив члены второго порядка по $\epsilon$
%
\begin{equation}
\ddot\eta+\frac{X_{y\epsilon}\omega}{X_{y0}}\epsilon\sin\Phi\dot\eta-
(X_{y0}Y_{x0}+(X_{y0}Y_{x\epsilon}+X_{y\epsilon}Y_{x0})\epsilon\cos\Phi)\eta+
X_\epsilon\omega\epsilon\sin{\Phi}=0.
\label{ddots_med}
\end{equation}
%
Это уравнение можно попытаться решить методом теории возмущений, но я её не знаю.

Вернёмся к системе (\ref{dots_lin_gen}) и разложим её по $\epsilon\cos\Phi$ до второго порядка
%
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot\eta&=X_0+X_{y0}\xi+\epsilon\cos\Phi(X_\epsilon+X_{y\epsilon}\xi)+\frac{\epsilon^2}{2}\cos^2\Phi(X_{\epsilon^2}+X_{y\epsilon^2}\xi),\\
\dot \xi&=(Y_{x0}+\epsilon\cos\Phi Y_{x\epsilon}+\frac{\epsilon^2}{2}\cos^2\Phi Y_{x\epsilon^2})\eta.
\end{aligned}
\label{dots_linquad}
\end{equation}
%
Параметры выражаются следующим образом
%
\begin{multline}
Y_{x\epsilon^2}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\partial^2 Y_x(x_0,y_0)}{\partial (\epsilon\cos\Phi)^2}=
-\frac{2C}{L^2}\left(A_0(2L^2-3LC+2)+2L(1+A_0^2)\sqrt{1-LC}-\right.\\
\shoveright{\left.-L\left(
L^2+A_0^2(2-3LC)+4A_0L\sqrt{1-LC}
\right)\arcsech\sqrt{LC}\right),}\\
X_{\epsilon^2}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\partial^2 X(x_0,y_0)}{\partial (\epsilon\cos\Phi)^2}=
\frac{2C(2-3LC)}{L^2},\quad
X_{y\epsilon^2}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\partial^2 X_y(x_0,y_0)}{\partial (\epsilon\cos\Phi)^2}=
\frac{8C\sqrt{1-LC}(3LC-1)}{L^3}.
\label{Coeff_lin_quad}
\end{multline}
%

\section{Результаты}
На всех нижеприведённых рисунках сплошная линия соответствует системе (\ref{dots_nonlin}), штриховая~---
системе (\ref{dots_lin_lin}), пунктирная~--- системе (\ref{dots_linquad}) и штрихпунктирная~---
системе (\ref{dots_lin_gen}).
%
\begin{figure}[!htbp]
\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{x_0.eps}}
\caption{Зависимость $x$-координаты начальной точки орбиты $x_0$ от силы возмущения $\epsilon$.}
\label{fig_x0}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[!htbp]
\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{y_0.eps}}
\caption{Зависимость $y$-координаты начальной точки орбиты $y_0$ от силы возмущения $\epsilon$.}
\label{fig_y0}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[!htbp]
\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{y_o.eps}}
\caption{Зависимость $y$-координаты начальной точки орбиты $y_o$ от силы возмущения $\epsilon$.
Центр орбиты~--- средняя точка иежду масимальным и минимальным значениями $y$. По оси $x$ центр
в пределах ошибки расположен в точке $x=0$ во всех случаях.}
\label{fig_yo}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[!htbp]
\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{a.eps}}
\caption{Зависимость ширины орбиты $a$ от силы возмущения $\epsilon$.}
\label{fig_a}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[!htbp]
\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{b.eps}}
\caption{Зависимость высоты орбиты $b$ от силы возмущения $\epsilon$.}
\label{fig_b}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[!htbp]
\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{S.eps}}
\caption{Зависимость площади орбиты $S$ от силы возмущения $\epsilon$.}
\label{fig_S}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[!htbp]
\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{E.eps}}
\caption{Зависимость отклонения от эллиптичности орбиты $E$ от силы возмущения $\epsilon$.
Отклонение от эллиптичности определяется как отношение площади между эллипсом с полуосями $a$ и $b$ и орбитой
к площади эллипса.}
\label{fig_E}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[!htbp]
\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{tr.eps}}
\caption{Вид орбит при $\epsilon=0.2$.}
\label{fig_tr}
\end{figure}
%

\section{Выводы}
Как обычно, детальное исследование <<тривиальных>> вещей, о которых мы <<всё знали>>, выявляет нетривиальность этих вещёй и то, что наши знания о них были абсолютно не верны. Из проделанной работы следуют два основных вывода. Во-первых, сложная форма орбиты не есть происки нелинейных сил. Эта сложная форма появляется уже в простейшей линеаризованой модели. Во-вторых, правильная зависимость $y_o$ от $\epsilon$ появляется только во втором порядке разложения по $\epsilon$. До сих пор мы неявно предполагали, что наша система хорошо описывается первым порядком разложения по $\epsilon$ и, соответственно, действует только одна частота $\omega$. Вышеприведённый эффект говорит о том, что влияние гармоники $2\omega$ и, возможно, более высоких гармоник не является пренебрежимо малым, а приводит к вполне заметным эффектам.
\end{document}
