\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{mathptmx}
\renewcommand{\rmdefault}{cmr}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage[russian]{babel}

\topmargin=-1.8cm
\oddsidemargin=-5mm
\evensidemargin=-5mm
\textheight=24.5cm
\textwidth=18cm

\tolerance=700

\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\DeclareMathOperator{\arccosh}{arccosh}

\parindent=0cm

\begin{document}
\section{Постановка задачи и вывод исходных уравнений движения}
Исходная функция тока:
%
\begin{equation}
\psi'(x',y',t)=-\psi_0\th{\left(\frac{y'-a\cos{k(x'-ct)}}{\lambda\sqrt{1+k^2a^2\sin^2{k(x'-ct)}} } \right)}.
\label{Psi_origin}
\end{equation}
%
Введём следующие обозначения
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\phi'(x',t)=k(x'-ct),\quad
q'(x',y',t)=y'-a\cos\phi'(x',t),\quad
p'(x',t)=1+k^2a^2\sin^2\phi'(x',t),\\
\theta'(x',y',t)=\frac{q'(x',y',t)}{\lambda\sqrt{p'(x',t)}}.
\end{gathered}
\label{Definitions}
\end{equation}
%
Краткая запись (\ref{Psi_origin}) с учётом (\ref{Definitions}):
%
\begin{equation}
\psi'=-\psi_0\th\theta'.
\label{Psi_origin_small}
\end{equation}
%
Уравнения движения
%
\begin{equation}
\frac{dx'}{dt}=-\frac{\partial\psi'}{\partial y'},\qquad
\frac{dy'}{dt}=\frac{\partial\psi'}{\partial x'}.
\label{Dyneq_def}
\end{equation}
%

Первое уравнение:
%
\begin{equation}
\frac{dx'}{dt}=\frac{\psi_0}{\ch^2\theta'}\frac{\partial\theta'}{\partial y'}=
\frac{\psi_0}{\ch^2\theta'}\frac{1}{\lambda\sqrt{p'}}\frac{\partial q'}{\partial y'}=
\frac{\psi_0}{\lambda\sqrt{p'}\ch^2\theta'}.
\label{dxdt}
\end{equation}
%
Второе уравнение:
%
\begin{equation}
\frac{dy'}{dt}=-\frac{\psi_0}{\ch^2\theta'}\frac{\partial\theta'}{\partial x'}.
\label{dydt}
\end{equation}
%
%
\begin{equation}
\frac{\partial\theta'}{\partial x'}=\frac{1}{\lambda}\frac{
\frac{\partial q'}{\partial x'}\sqrt{p'}-q'\frac{1}{2\sqrt{p'}}\frac{\partial p'}{\partial x'}
}{p'}.
\label{dthetadx}
\end{equation}
%
Распишем производные в (\ref{dthetadx})
%
\begin{equation}
\frac{\partial q'}{\partial x'}=a\sin\phi'\frac{\partial \phi'}{\partial x'}=ak\sin\phi',\\
\label{dqdx}
\end{equation}
%
%
\begin{equation}
\frac{\partial p'}{\partial x'}=2k^2a^2\sin\phi'\cos\phi'\frac{\partial \phi'}{\partial x'}=
2k^3a^2\sin\phi'\cos\phi'.
\label{dpdx}
\end{equation}
%
Подставим (\ref{dqdx}) и (\ref{dpdx}) в (\ref{dthetadx})
%
\begin{multline}
% Line 1
\frac{\partial\theta'}{\partial x'}=\frac{1}{\lambda}\frac{
ak\sqrt{p'}\sin\phi'-q'\frac{1}{2\sqrt{p'}}2k^3a^2\sin\phi'\cos\phi'
}{p'}=
\frac{1}{\lambda}\frac{akp'\sin\phi'-k^3a^2q'\sin\phi'\cos\phi'}{{p'}^{3/2}}=\\
% Line 2
=\frac{1}{\lambda}\frac{
ak(1+a^2k^2\sin^2\phi')\sin\phi'-a^2k^3(y'-a\cos\phi')\sin\phi'\cos\phi'
}{{p'}^{3/2}}=\\
% Line 3
=\frac{ak\sin\phi'}{\lambda}\frac{
1+a^2k^2\sin^2\phi'-ak^2y'\cos\phi'+a^2k^2\cos^2\phi'
}{{p'}^{3/2}}=
\frac{ak\sin\phi'}{\lambda}\frac{
1+a^2k^2-ak^2y'\cos\phi'
}{{p'}^{3/2}}.
\label{dthetadx_full}
\end{multline}
%
Подставляя (\ref{dthetadx_full}) в (\ref{dydt}) получаем
%
\begin{equation}
\frac{dy'}{dt}=-\frac{ak\psi_0\sin\phi'(1+a^2k^2-ak^2y'\cos\phi')}{\lambda{p'}^{3/2}\ch^2\theta'}.
\label{dydt_full}
\end{equation}
%
\section{Нормировки и получение окончательных уравнений движения}
Нормировки:
%
\begin{equation}
x=k(x'-ct),\quad x'=\frac{x}{k}+ct,\qquad
y=ky',\quad y'=\frac{y}{k},\qquad
\tau=\psi_0 k^2 t,\quad t=\frac{\tau}{\psi_0 k^2}.
\label{norms}
\end{equation}
%
Производные преобразуются следующим образом
%
\begin{equation}
\frac{dx'}{dt}=\frac{d\left(\frac{x}{k}+c \frac{\tau}{\psi_0 k^2}\right)}{d\left(\frac{\tau}{\psi_0 k^2}\right)}=
\psi_0 k\dot x+c,\qquad
\frac{dy'}{dt}=\frac{d\left(\frac{y}{k}\right)}{d\left(\frac{\tau}{\psi_0 k^2}\right)}=
\psi_0 k\dot y,
\label{dnorms}
\end{equation}
%
где точкой обозначено дифференцирование по $\tau$.
Обозначения (\ref{Definitions}) заменяются на
%
\begin{equation}
\phi(x)=x,\quad
q(x,y)=y/k-a\cos x,\quad
p(x)=1+k^2a^2\sin^2 x,\quad
\theta(x,y)=\frac{q(x,y)}{\lambda\sqrt{p(x)}}.
\label{Definitions_norm}
\end{equation}
%

Преобразуем уравнение (\ref{dxdt})
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\frac{dx'}{dt}=\frac{\psi_0}{\lambda\sqrt{p'}\ch^2\theta'},\qquad
\psi_0 k\dot x+c=\frac{\psi_0}{\lambda\sqrt{p}\ch^2\theta},\\
\dot x=\frac{1}{k\lambda\sqrt{p}\ch^2\theta}-\frac{c}{\psi_0 k}.
\end{gathered}
\label{dxdt_norm}
\end{equation}
%
Аналогично поступим с уравнением (\ref{dydt_full})
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\frac{dy'}{dt}=-\frac{ak\psi_0\sin\phi'(1+a^2k^2-ak^2y'\cos\phi')}{\lambda{p'}^{3/2}\ch^2\theta'},\qquad
\psi_0 k\dot y=-\frac{ak\psi_0\sin x(1+a^2k^2-aky\cos x)}{\lambda{p}^{3/2}\ch^2\theta}\\
\dot y=-\frac{a\sin x(1+a^2k^2-aky\cos x)}{\lambda{p}^{3/2}\ch^2\theta}.
\end{gathered}
\label{dydt_norm}
\end{equation}
%
Наконец, введём обозначения
%
\begin{equation}
A=ak,\qquad L=\lambda k,\qquad C=\frac{c}{\psi_0 k}
\label{new_params}
\end{equation}
%
и запишем уравнения (\ref{dxdt_norm}) и (\ref{dydt_norm}) в окончательном виде
%
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot x&=\frac{1}{L\sqrt{1+A^2\sin^2 x}\ch^2\theta}-C,\\
\dot y&=-\frac{A\sin x(1+A^2-Ay\cos x)}{L\left(1+A^2\sin^2 x\right)^{3/2}\ch^2\theta},
\end{aligned}\qquad
\theta=\frac{y-A\cos x}{L\sqrt{1+A^2\sin^2 x}}.
\label{dots_final}
\end{equation}
%
Очевидно, что функция тока для системы (\ref{dots_final}) имеет вид
%
\begin{equation}
\psi(x,y)=-\th{\left(\frac{y-A\cos x}{L\sqrt{1+A^2\sin^2 x}}\right)}+Cy.
\label{Psi_norm}
\end{equation}
%

\section{Особые точки}
Как видно из первого уравнения системы (\ref{dots_final}), особые точки могут существовать только при условии
%
\begin{equation}
LC\le 1.
\label{stat_prim_cond}
\end{equation}
%
Из второго уравнения системы (\ref{dots_final}) получаем два условия на стационарные точки:
%
\begin{gather}
\label{cond_stat_1}
\sin x=0,\\
1+A^2-Ay\cos x=0.
\label{cond_stat_2}
\end{gather}
%
Из первого условия получаем значение $x=0$ или $x=\pi$. Подставляя его в уравнение для $\dot x$ и приравнивая правую
часть нулю, находим четыре стационарные точки:
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\begin{aligned}
x_1=&0,\\
y_1=&L\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}+A,
\end{aligned}\qquad
\begin{aligned}
x_2=&0,\\
y_2=&-L\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}+A,
\end{aligned}\\
\begin{aligned}
x_3=&\pi,\\
y_3=&L\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}-A,
\end{aligned}\qquad
\begin{aligned}
x_4=&\pi,\\
y_4=&-L\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}-A.
\end{aligned}
\end{gathered}
\label{four_stat_points_1}
\end{equation}
%
Анализ стабильности показывает, что вторая и третья точки устойчивы всегда, а первая
и четвёртая устойчивы при условии
%
\begin{equation}
AL\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}>1.
\label{stab_cond}
\end{equation}
%

Разберём подробнее условие (\ref{cond_stat_2}). Выразив из него $y$, подставив его в уравнение для $\dot x$ и сделав
замену $z=\cos x$, получаем следующее уравнение для $z$
%
\begin{equation}
f(z)=C,\qquad
f(z)=\frac{1}{L\sqrt{1+A^2(1-z^2)}\ch^2\theta},\qquad
\theta=\frac{\sqrt{1+A^2(1-z^2)}}{ALz}.
\label{cond_z}
\end{equation}
%
$f(z)$~--- чётная функция, определённая на интервале $z\in[-1:1]$, с особенностью в точке $z=0$, причём
$\displaystyle \lim_{z\to 0}f(z)=0$. Анализируя производную $f'(z)$ можно показать, что $f(z)$ строго возрастает на
полуинтервале $z\in(0:1]$ и строго убывает на полуинтервале $z\in[-1:0)$. Из вышеизложенных фактов следует
умозаключение, что при выполнении условия
%
\begin{equation}
C<f(\pm 1)=\frac{1}{L\ch^2{(1/AL)}}
\label{stat_sec_cond}
\end{equation}
%
существует два решения уравнения (\ref{cond_z}), симметричных относительно нуля.
Нетрудно убедиться, что условие (\ref{stat_sec_cond}) совпадает с условием (\ref{stab_cond}). Таким образом,
при выполнении условия (\ref{stat_sec_cond}) в системе (\ref{dots_final})
возникают в дополнение к точкам (\ref{four_stat_points_1}) ещё четыре стационарных точки:
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\begin{aligned}
x_5=&\arccos z_0,\\
y_5=&\frac{1+A^2}{Az_0},
\end{aligned}\qquad
\begin{aligned}
x_6=&2\pi-\arccos z_0,\\
y_6=&\frac{1+A^2}{Az_0},
\end{aligned}\\
\begin{aligned}
x_7=&\pi-\arccos z_0,\\
y_7=&-\frac{1+A^2}{Az_0},
\end{aligned}\qquad
\begin{aligned}
x_8=&\pi+\arccos z_0,\\
y_8=&-\frac{1+A^2}{Az_0},
\end{aligned}
\end{gathered}
\label{four_stat_points_2}
\end{equation}
%
где $z_0$~--- положительное решение уравнения (\ref{cond_z}). Анализ стабильности показывает, что эти точки всегда
неустойчивы.

Таким образом, с точки зрения существования и стабильности особых точек, существует три режима:
%
\begin{enumerate}
\item $C>C_\text{cr1}=1/L$. Особых точек нет.
\item $C_\text{cr1}>C>C_\text{cr2}=\frac{1}{L\ch^2{(1/AL)}}$. Существует четыре особых точки (\ref{four_stat_points_1}):
два центра (вторая и третья точки) и два седла (первая и четвёртая точки).
Существует две сепаратрисы, проходящие через первую и четвёртую точки, соответственно.
\item $C_\text{cr2}>C$. Существует восемь особых точек: четыре центра (\ref{four_stat_points_1}) и
четыре седла (\ref{four_stat_points_2}). Существует две сепаратрисы. Первая проходит через пятую и шестую точки,
вторая~--- через седьмую и восьмую.
\end{enumerate}
%
Бифуркация между первым и вторым режимами заключается в возникновении двух пар седло-центр.
Бифуркация между вторым и третьим режимами заключается в возникновении на месте неустойчивого седла
пары сёдел и центра между ними (бифуркация типа вилки). Зависимость $C_\text{cr2}$ от параметров
$A$ и $L$ приведена на рис.~\ref{FigC}a.
%
\begin{figure}[!htb]
\parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{a)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{C2.eps}}
}\hfill \parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{b)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{C3.eps}}
}\\
$\mathstrut$\hfill
\parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{c)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{DC.eps}}
}\hfill$\mathstrut$
\caption{a)
$C_\text{cr2}(A,L)$; b) $C_\text{cr3}(A,L)$;
c) $C_\text{cr2}(A,L)-C_\text{cr3}(A,L)$.}
\label{FigC}
\end{figure}
%

Однако, возможна ещё одна бифуркация, приводящая к изменению топологии фазовго портрета, но не затрагивающая
особых точек. Нетрудно убедится, что значения функции тока (\ref{Psi_norm}) на сепаратрисах равны по модулю, но
противоположны по знаку. Можно показать, что функция тока для сепаратрисы, проходящей через точки с $y>0$ меняется
непрерывно от отрицательного значения ($-1$) при $C\to 0$, до положительного ($AC$) при $C=C_\text{cr1}$. Функция
тока для второй сепаратрисы меняется, соответственно, от $1$ до $-AC$. Существует некоторое критическое значение
$C=C_\text{cr3}$ при котором функция тока на обеих сепаратрисах равна нулю и сепаратрисы совпадают.
При $C>C=C_\text{cr3}$ на фазовом портрете свободное течение между сепаратрисами направлено с востока на запад,
а при $C<C=C_\text{cr3}$~--- с запада на восток\footnote{Я не знаю как доказать этот факт аналитически, но он
виден на фазовых портретах.}. $C=C_\text{cr3}$ сложно найти аналитически, однако можно показать, что
$C_\text{cr3}>C_\text{cr2}$, если выполняется условие
%
\begin{equation}
\frac{1+A^2}{AL\ch^2{(1/AL)}}-\th{(1/AL)}<0.
\label{cond_Ccr3}
\end{equation}
%
В противном случае $C_\text{cr3}<C_\text{cr2}$. Зависимость $C_\text{cr3}$ от параметров
$A$ и $L$ приведена на рис.~\ref{FigC}b. На рис.~\ref{FigC}с приведена зависимость
разности $C_\text{cr2}$ и $C_\text{cr3}$.

%
\begin{figure}[!htb]
\parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{a)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{port_2a.eps}}
}\hfill \parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{b)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{port_2b.eps}}
}
\caption{a) $A=0.6$, $L=1.0$, $C=0.7$; b) $A=0.6$, $L=0.7$, $C=0.4$.}
\label{port_2}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[!htb]
\parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{a)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{port_3a.eps}}
}\hfill \parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{b)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{port_3b.eps}}
}
\caption{a) $A=3.0$, $L=2.5$, $C=0.3$; b) $A=1.6$, $L=0.5$, $C=0.2$.}
\label{port_3}
\end{figure}
%

Итоговый список топологически разных режимов динамики системы выглядит следующим образом:
%
\begin{enumerate}
\item $C>C_\text{cr1}$. Особых точек нет.
\item[2a.] $C_\text{cr1}>C>C_\text{cr2}$ и $C>C_\text{cr3}$.
Существует четыре особых точки (\ref{four_stat_points_1}): два центра (вторая и третья точки) и два седла
(первая и четвёртая точки). Существует две сепаратрисы, проходящие через первую и четвёртую точки, соответственно.
Свободный поток между сепаратрисами направлен с востока на запад. Смотри рис.~\ref{port_2}a.
\item[2b.] $C_\text{cr1}>C>C_\text{cr2}$ и $C<C_\text{cr3}$.
Особые точки те же, что и в предыдущем случае, но свободный поток между сепаратрисами направлен с запада на восток.
Смотри рис.~\ref{port_2}b.
\item[3a.] $C_\text{cr2}>C>C_\text{cr3}$. Существует восемь особых точек: четыре центра (\ref{four_stat_points_1}) и
четыре седла (\ref{four_stat_points_2}). Существует две сепаратрисы. Первая проходит через пятую и шестую точки,
вторая~--- через седьмую и восьмую. Свободный поток между сепаратрисами направлен с востока на запад.
Смотри рис.~\ref{port_3}a.
\item[3b.] $C_\text{cr2}>C$ и $C<C_\text{cr3}$. Особые точки те же, что и в предыдущем случае,
но свободный поток между сепаратрисами направлен с запада на восток.
Смотри рис.~\ref{port_3}b.
\end{enumerate}
%
Возможные бифуркации: 1~-- 2a ($C=C_\text{cr1}$), 2a~-- 2b ($C=C_\text{cr3}>C_\text{cr2}$),
2a~-- 3a ($C=C_\text{cr2}>C_\text{cr3}$), 2b~-- 3b ($C=C_\text{cr2}<C_\text{cr3}$),
3a~-- 3b ($C=C_\text{cr3}<C_\text{cr2}$), и, наконец, 2a~-- 2b~-- 3a~-- 3b ($C=C_\text{cr2}=C_\text{cr3}$).
Фазовые портреты, соответствующие этим бифуркациям, приведены на рис.~\ref{Bifurcations}.

%
\begin{figure}[!htb]
\parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{a)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{b_2a-3a.eps}}
}\hfill \parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{b)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{b_2b-3b.eps}}
}\\
\parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{c)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{b_2a-2b.eps}}
}\hfill \parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{d)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{b_3a-3b.eps}}
}\\
\parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{e)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{b_1-2a.eps}}
}\hfill \parbox[c]{0.48\textwidth}{
\centerline{f)}
\centerline{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{b_mega.eps}}
}
\caption{Бифуркации:
a) 2a~-- 3a ($A=1.58$, $L=3.47$, $C=0.278805808052728$);
b) 2b~-- 3b ($A=0.5$, $L=1.85$, $C=0.2001078840192$);
c) 2a~-- 2b ($A=0.5$, $L=1.04$, $C=0.499332517637516$);
d) 3a~-- 3b ($A=2.39$, $L=0.5$, $C=0.279980401812784$);
e) 1~-- 2a ($A=1.0$, $L=1.0$, $C=1.0$);
f) 2a~-- 2b~-- 3a~-- 3b ($A=0.75$, $L=1.560992$, $C=0.332753$).
}
\label{Bifurcations}
\end{figure}
%

\section{Возмущение}
Рассмотрим возмущённую задачу. В этом случае амплитуда меандра имеет вид
%
\begin{equation}
a=a_0+\epsilon'\cos{(\Omega t+\phi)},
\label{Perturb}
\end{equation}
%
где $\epsilon'$~--- амплитуда, $\Omega$~--- частота и $\phi$~--- фаза возмущения.
Используя нормировки (\ref{norms}) получаем следующие возмущённые уравнения движения:
%
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot x&=\frac{1}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}\ch^2\theta}-C,\\
\dot y&=-\frac{A(\tau)\sin x(1+A(\tau)^2-A(\tau)y\cos x)}{L\left(1+A(\tau)^2\sin^2 x\right)^{3/2}\ch^2\theta},
\end{aligned}\qquad
\begin{gathered}
\theta=\frac{y-A(\tau)\cos x}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}},\\
A(\tau)=A_0+\epsilon\cos{(\omega\tau+\phi)}.
\end{gathered}
\label{dots_perturb}
\end{equation}
%
Здесь введены обозначения
%
\begin{equation}
A_0=a_0k,\qquad \epsilon=\epsilon' k,\qquad \omega=\frac{\Omega}{\psi_0 k^2}.
\label{new_pert_params}
\end{equation}
%

\section{Точки поворота}
Точки поворота определяются условием $\dot x=0$. Для невозмущённой системы точки поворота лежат на линиях
%
\begin{equation}
y_t=\pm L\sqrt{1+A^2\sin^2{x}}\operatorname{Arsech}{\sqrt{{LC\sqrt{1+A^2\sin^2{x}}}}}+A\cos x.
\label{unpert_turnpoints}
\end{equation}
%
В дальнейшем будем рассматривать линию только со знаком <<$+$>>. Эта линия существует для всех значений $x$, если выполняется условие $C\le 1/(L\sqrt{1+A^2})$. Разрывы, если они существуют, находятся вблизи точек $x=\pi/2,\,3\pi/2$. Из Рис.~\ref{port_2} и~\ref{port_3} видно, что линия точек поворота неразрывна для фазовых портретов 2b и 3b, из чего следует ограничение\footnote{Аналитически доказать это я не смог.} $C_\text{cr3}<1/(L\sqrt{1+A^2})$.

В случае наличия возмущения линия превращается в полосу, состоящую из линий (\ref{unpert_turnpoints}) со значениями $A$ от $A_0-\epsilon$ до $A_0+\epsilon$. Производная $\partial y_t/\partial A$ имеет вид:
%
\begin{equation}
\frac{\partial y_t}{\partial A}=d(x,A)=\cos x+g(x,A),
\label{dytdA}
\end{equation}
%
где $g(x,A)$ определяется как
%
\begin{equation}
g(x,A)=\frac{AL \sin^2 x}{2\sqrt{1+A^2 \sin^2 x}}\left(
2\operatorname{Arsech}\sqrt{{LC\sqrt{1+A^2\sin^2{x}}}}-
\frac{1}{\sqrt{1-LC\sqrt{1+A^2\sin^2 x}}}\right).
\label{g_xA}
\end{equation}
%
Если $d(x,A)$ при некотором $x$ не меняет знак на интервале $A_0-\epsilon\le A\le A_0+\epsilon$, то $y_t$ меняется от $y_t(x,A_0-\epsilon)$ до $y_t(x,A_0+\epsilon)$, причём каждому значению $y$ соответствует единственное значение $A$ и, соответственно, два решения уравнения на фазу возмущения: $A_0+\epsilon\sin{t}=A$. Однако, могут существовать такие значения $x$, при которых уравнение $d(x,A)=0$ имеет решение в промежутке $A_0-\epsilon< A< A_0+\epsilon$. В этом случае одному значению $y$ может соответствовать более одного значения $A$. Ширина полосы будет определяться значениями
$y_t$ в точке(ах) экстремума(ов) и на краях интервала значений $A$.

\section{Итоги}
Исходная модель имеет пять основных параметров:
%
\begin{enumerate}
\item $\psi_0$ --- амплитуда функции тока;
\item $\lambda$ --- характерная ширина течения;
\item $a_0$ --- амплитуда меандра;
\item $k$ --- волновое число меандра;
\item $c$ --- фазовая скорость меандра;

и три параметра возмущения:
\item $\epsilon'$ --- амплитуда возмущения;
\item $\Omega$ --- частота возмущения;
\item $\phi$ --- фаза возмущения.
\end{enumerate}
%

После нормировки эти параметры сводятся к трём основным:
%
\begin{enumerate}
\item $L=\lambda k$ --- нормированая ширина течения;
\item $A_0=a_0k$ --- нормированая амплитуда меандра;
\item $C=\dfrac{c}{\psi_0 k}$ --- нормированая фазовая скорость меандра;

и трём параметрам возмущения:
\item $\epsilon=k\epsilon'$ --- нормированная амплитуда возмущения;
\item $\omega=\dfrac{\Omega}{\psi_0 k^2}$ --- нормированная частота возмущения;
\item $\phi$ --- фаза возмущения.
\end{enumerate}
%

Нормированая функция тока имеет вид
%
\begin{equation}
\psi(x,y)=-\th{\left(\frac{y-A(\tau)\cos x}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}}\right)}+Cy.
\label{Psi_norm_itog}
\end{equation}
%
Уравнения движения
%
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot x&=\frac{1}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}\ch^2\theta}-C,\\
\dot y&=-\frac{A(\tau)\sin x(1+A(\tau)^2-A(\tau)y\cos x)}{L\left(1+A(\tau)^2\sin^2 x\right)^{3/2}\ch^2\theta},
\end{aligned}\qquad
\begin{gathered}
\theta=\frac{y-A(\tau)\cos x}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}},\\
A(\tau)=A_0+\epsilon\cos{(\omega\tau+\phi)}.
\end{gathered}
\label{dots_final_itog}
\end{equation}
%

\end{document}