\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\topmargin=-1.8cm
\oddsidemargin=-15mm
\evensidemargin=-15mm
\textheight=24.5cm
\textwidth=19cm
\tolerance=1000

\parskip=5pt plus 4pt minus 2pt
\tolerance=9000
%
\title{Про фронты}
\begin{document}
\maketitle
\section{Про фронты физические}
В океане (и не только в океане) часто наблюдаются ситуации, когда некоторый параметр среды сильно меняется на достаточно малом расстоянии, то есть наблюдается большой градиент.
Обычно, области большого градиента представляют собой некоторые линии (в двумерном случае) или поверхности (в трёхмерном случае), замкнутые либо нет. Такие линии и называются фронтами. В зависимости от того, какой параметр мы смотрим, могут быть фронты температурные, солёностные, фронты концентрации какой-либо примеси. В лабораторных экспериментах фронты могут быть, например, между подкрашенной и неподкрашенной водой. По причине возникновения фронты можно разделить на два класса: лагранжевы, вызванные движением жидкости, и нелагранжевы, вызванные другими причинами. Например, в океане может возникнуть нелагранжев температурный фронт из-за остывания воды вследствие атмосферных осадков, а в лабораторном эксперименте мы можем создать нелагранжев фронт, капнув краски в произвольное место. Отдельно надо отметить возможный случай, когда двумерный фронт является проявлением трёхмерного, например, возникновение того же температурного фронта на поверхности в результате апвеллинга глубинных вод. Понятно, что такое
деление фронтов во многом условно, любой реальный фронт имеет нелагранжеву причину возникновения в силу того, что начальные различия в свойствах жидкости всегда вызваны внешними причинами, поэтому правильнее говорить о лагранжевой динамике фронтов.

\section{Про фронты математические}
Введём понятие {\em лагранжевой величины}. Будем называть лагранжевой величиной такую характеристику частицы жидкости, которая переносится вдоль траектории этой частицы. Лагранжевой величиной может быть температура, солёность, цвет, прозрачность, концентрации примесей и т.~д. В реальности, однако, все эти величины сохраняют <<лагранжевость>> только в течении конечного времени в силу диффузии, теплообмена и других аналогичных причин, а также хаотического перемешивания. Тем не менее, можно ввести лагранжеву величину, на которую не влияют упомянутые факторы (за исключением хаотического перемешивания). Координаты точки, через которую траектория жидкой частицы прошла в заданный момент времени, являются лагранжевыми величинами. На практике, однако, удобнее пользоваться несколько другими величинами, а именно {\em полным}, {\em зональным} и {\em меридиональным смещениями}, так как они дают лучший контраст, хотя и не являются истинно лагранжевыми величинами, потому что не сохраняются вдоль траектории (см. ниже про
лагранжевы индикаторы). Фронты этих величин можно считать чисто лагранжевыми, так как они зависят исключительно от динамики самой системы. Однако, избавившись от одной проблемы, мы получаем другую~--- такая лагранжева величина не может быть определена локально во времени, она зависит от некоторой предыстории системы. Подчеркну, сам фронт является во времени локальным, он существует здесь и сейчас, нелокальной является величина, для которой этот фронт определён. Это серьёзная, хотя и физически оправданная, сложность. Для того, чтобы найти лагранжев фронт, нам нужно наблюдать за системой некоторое {\em конечное время}. Поэтому, можно говорить, например, о недельных, месячных, годовых фронтах. Напоминаю, однако, что сам фронт существует сейчас, недельной, месячной и т.~д. является величина, для которой этот фронт существует. Лагранжевы фронты теоретически можно наблюдать и непосредственно, запуская буи в разных точках океана и наблюдая за их схождением и расхождением. Только буёв надо много.

\section{их обобщение}
Можно ввести более абстрактное, нежели лагранжева величина, понятие. Назовём {\em лагранжевым индикатором} любую величину, являющуюся функцией траектории. Примерами таких величин являются длина траектории, смещение, крайняя северная точка траектории, количество оборотов и т.~д. Понятно, что лагранжева величина также является лагранжевым индикатором. Можно выделить два типа индикаторов: зависящих только от геометрических свойств траектории (примеры приведены выше) и зависящих также от её параметризации временем (время пересечения траекторией некоторой линии или время выхода из определённой области). Вопрос, можно ли отнести показатель Ляпунова к лагранжевым индикаторам, является нетривиальным. Приведённое мной определение зависит только от свойств траектории как геометрического объекта и её параметризации временем. Однако, для расчёта показателя Ляпунова необходимо знание как самой траектории, так и динамической системы, которой она порождена. По моему мнению, это отличие принципиально, и показатель Ляпунова
следует отличать от лагранжевых индикаторов. Фронты лагранжевых индикаторов имеет смысл назвать {\em обобщёнными лагранжевыми фронтами}. Говоря по простому, лагранжевы фронты разделяют воды с разным {\em пространственным происхождением}, а обобщённые лагранжевы~--- с разной {\em историей}. Обобщённые фронты могут как совпадать, так и не совпадать с обычными, в зависимости от величины, используемой в качестве индикатора. Теоретически, они тоже могут иметь отношение к океаническим фронтам, например, воды из примерно одного места могут доходить до другого места двумя разными путями, северным и южным. В такой ситуации вполне вероятно образование температурного фронта, но он будет обобщённым лагранжевым, а не просто лагранжевым. Самое забавное, что этот эффект связан как раз с нарушением лагранжевости физических величин. Однако, на практике возникновение такой ситуации маловероятно, скорее всего, океанические фронты будут являться обычными лагранжевыми фронтами.

\section{связь с физическими}
Вернёмся к связи океанических фронтов с лагранжевыми. Как я уже говорил, все океанические фронты имеют под собой нелагранжеву причину. Тем не менее, при определённых условиях они будут хорошо совпадать с лагранжевыми фронтами.
%
\begin{enumerate}
\item Лагранжевы фронты~--- фронты между водами с разным пространственным происхождением. Следовательно, чтобы лагранжев фронт совпал с океаническим, необходимо, чтобы поле физической величины было неоднородным. Но, при этом, оно должно быть достаточно гладким, чтобы океанический фронт был результатом именно движения воды, а не присутствовал в поле физической величины изначально. Условие довольно парадоксальное, так как понятно, что океанические фронты существуют всегда. Его следует понимать как то, что воды, образующие фронт, должны прийти из областей, где фронтов не было, в противном случае, это задача о переносе материальной линии, а не о формировании фронта.
\item Время, на котором определён лагранжев фронт, совпадающий с океаническим, ограниченно как снизу (лагранжев фронт существует, начиная с некоторого ненулевого времени), так и сверху (временем <<лагранжевости>> физической величины). То есть, чтобы лагранжев фронт был и океаническим, он должен формироваться достаточно быстро. В принципе, фронт может определяться и на времени, большем, чем время <<лагранжевости>>, если сама величина не сохраняется вдоль траектории, но её изменение примерно одинаково для всех траекторий.
\end{enumerate}
%

\section{и связь с показателем Ляпунова}
Связь лагранжевых фронтов с хребтами показателя Ляпунова неочевидна. Конечно, во многих работах говорится о том, что хребты показателя Ляпунова обрисовывают неустойчивые многообразия, которые, в свою очередь, разделяют воды с разными характеристиками, что, как мы помним, и является определением лагранжевого фронта. Однако, строгих доказательств этого утверждения я не припоминаю. На данный момент мы не знаем, всегда ли хребту показателя Ляпунова соответствует лагранжев фронт и наоборот. Тем не менее, можно утверждать, что, в практически важном случае гиперболических точек (или не точек, а объектов неизвестной пока природы), генерируются как хребты показателя Ляпунова, так и лагранжевы фронты. Но, насколько точно между ними совпадение, пока неизвестно. В стационарной системе оно точно есть, в периодической~--- скорее всего, есть, в апериодической~--- возможно, нет. Впрочем, если какое расхождение и имеется, для задач океанологии оно является совершенно несущественным.

\section{Тонкая структура}
Лагранжев фронт~--- это не просто максимум градиента. Он может иметь тонкую мелкомасштабную структуру. Например, фронты, генерируемые гиперболическими объектами, состоят не из одного, а из двух параллельных максимумов градиента. Между ними расположена область точек, соответсвующих неустойчивому многообразию гиперболического объекта. В реальности, структура может быть ещё более сложная.

\section{Про стрелу времени}
Всё что было сказано про фронты, относилось к фронтам обратного времени или <<фронтам прошлого>>. То есть, для их определения использовались характеристики участка траектории, полностью находящегося в прошлом. Понятно, что можно определить и <<фронты будущего>>, координаты точки, которую траектория {\em посетит} в определённый момент времени~--- тоже лагранжева величина. <<Фронты будущего>>~--- это совсем другие объекты, нежели <<фронты прошлого>>. Ключевое отличие~--- это их ненаблюдаемость, они никак себя не проявляют здесь и сейчас, узнать о них мы можем только постфактум. В принципе, никто не мешает определить и <<фронты прошлого-будущего>> по участку траектории, находящемуся как в прошлом, так и будущем. Но интерпретировать таковые я затрудняюсь.

\section{Интересные факты}
Для определения лагранжевых фронтов на практике мы используем не лагранжевы величины, а лагранжевы индикаторы, то есть, на самом деле, определяем обобщённые лагранжевы фронты. Почти всегда это нормально, и обобщённые фронты совпадают с обычными. Тем не менее, иногда это не так. В качестве лагранжевого индикатора мы используем полное смещение и ищем фронты как области большого градиента этой величины. Понятно, что понятие <<большой>> достаточно условно, но речь не об этом. Могут существовать ситуации, когда градиент существует, пусть и не очень <<большой>>, а лагранжевого фронта, тем не менее, нет. Как пример, можно привести внутренние области вихрей. Поскольку все величины мы считаем на конечное время, то на карте полного смещения $D$ этих областей возникают резонансные полосы. Зоны со сравнительно большим $D$, соответствующие полуцелому количеству оборотов траектории вокруг центра вихря, чередуются с зонами малого $D$, соответствующими целому количеству оборотов. Понятно, что рассчитывая градиент $D$, мы
получим ненулевую величину, возможно, достаточную, чтобы счесть её фронтом. Формально, это будет действительно обобщённым лагранжевым фронтом, так как он разделяет области с разной историей (количество оборотов~--- это, безусловно, история). Но это не лагранжев фронт, так как хотя частицы и прошли разное расстояние, вышли они с примерно одного места. Также, эти фронты будут смещаться в зависимости от времени счёта, что обычно не свойственно чисто лагранжевым фронтам. Отмечу, что точно также ведёт себя показатель Ляпунова, образуя полосы внутри вихрей ровно по тем же причинам. Это может служить аргументом в пользу того, что показатель Ляпунова можно рассматривать как лагранжев индикатор.
\end{document}