\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}

\topmargin=-1.8cm
\oddsidemargin=-15mm
\evensidemargin=-15mm
\textheight=24.5cm
\textwidth=19cm
\tolerance=1000

\parskip=5pt plus 4pt minus 2pt
\tolerance=9000
\DeclareMathOperator{\sech}{sech}
%
\begin{document}
\section{Механизмы разрушения центральной инвариантной кривой,
условия образования центральной стохастической струи.}

Исследуется модельный поток, состоящий из струи Бикли и двух волн Россби
с амплитудами $a_1$ и $a_2$. Цель~--- изучение структуры и статистических
свойств центральной стохастической струи.

Задачи~--- выявление условий разрушения $CIC$ при малой амплитуде
возмущения, визуализация (анимация) метаморфоз $CIC$ при вариации
управляющих параметров.

\section{Нормировка}
Для удобства численного моделирования введём специальную нормировку.
Функция тока потока с двумя волнами Россби имеет вид:
%
\begin{equation}
\Psi(x,y,t)=
-U_0 L\tanh{\frac{y}{L}}+
a_1 U_0 L \sech^2{\frac{y}{L}}\cos{k_1(x-c_1 t)}+
a_2 U_0 L \sech^2{\frac{y}{L}}\cos{k_2(x-c_2 t)},
\label{orpsi}
\end{equation}
где $L$~---характерная ширина струи, $U_0$~--- максимальная скорость
в невозмущёной струе, $a_1$, $a_2$, $c_1$, $c_2$, $k_1$, $k_2$~---
амплитуды, скорости и волновые числа двух волн Россби.
Скорости $c_1$ и $c_2$ находятся следующим образом
%
\begin{equation}
c_{1,2}=\frac{U_0}{3}(1\pm\alpha),\quad\alpha=\sqrt{1-\beta^*},\quad \beta^*=\frac{3L^2\beta}{2U_0}
\label{c12}
\end{equation}
%
и связаны с волновыми числами $k_1$, $k_2$ дисперсионным соотношением
%
\begin{equation}
c_{1,2}=\frac{U_0L^2}{6}k_{1,2}^2.
\label{disper}
\end{equation}
%
Если поток замкнут в кольцо, обе волны можно характеризовать
числами $n_1$ и $n_2$ (количество длин волн, укладывающихся на окружность)
и выразить через них волновые числа и скорости
%
\begin{equation}
k_{1,2}=\frac{n_{1,2}}{R},\quad c_{1,2}=\frac{U_0Q^2}{6}n_{1,2}^2,\quad Q=\frac{L}{R},
\label{n2kc}
\end{equation}
%
где $R$~--- радиус окружности. Подставляя (\ref{n2kc}) в (\ref{c12}) получаем два уравнения, связывающие $n_{1,2}$ и $Q$, $\alpha$
%
\begin{equation}
\begin{aligned}
n_1^2&=\frac{2}{Q^2}(1+\alpha),\\
n_2^2&=\frac{2}{Q^2}(1-\alpha).
\end{aligned}
\label{aQ2n}
\end{equation}
%
Из (\ref{aQ2n}) нетрудно получить, что
%
\begin{equation}
\alpha=\frac{n_1^2-n_2^2}{n_1^2+n_2^2},\quad \beta^*=1-\alpha^2=\frac{4n_1^2n_2^2}{\left(n_1^2+n_2^2\right)^2}=\frac{3L^2\beta}{2U_0},\quad
Q^2=\frac{4}{n_1^2+n_2^2}=\frac{L^2}{R^2}.
\label{n2aQ}
\end{equation}
%

Рассмотрим преобразование переменных вида
%
\begin{equation}
x'=Ax+Bt,\quad y'=Cy,\quad t'=Dt,\quad \Psi'=\frac{AC}{D}\Psi-\frac{B}{D}y'.
\label{coordtrans}
\end{equation}
%
Вид преобразования $\Psi$ в $\Psi'$ следует из того, что функция $\Psi'$ должна удовлетворять уравнениям Гамильтона в новых переменных.
Применим последовательно (для удобства восприятия) преобразования вида (\ref{coordtrans}) к функции тока (\ref{orpsi}) (штрихи опускаем,
$k_{1,2}$ и $c_{1,2}$ подставляем из (\ref{n2kc})).

Первое преобразование~--- нормировка $y$ (избавляемся от $L$):
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
A=D=1,\quad B=0,\quad C=\frac{1}{L},\\
\Psi(x,y,t)=
-U_0 \tanh{y}+
a_1 U_0 \sech^2{y}\cos{\frac{n_1}{R}\left(x-\frac{U_0L^2}{6R^2}n_1^2 t\right)}+
a_2 U_0 \sech^2{y}\cos{\frac{n_2}{R}\left(x-\frac{U_0L^2}{6R^2}n_2^2 t\right)}.
\end{gathered}
\end{equation}
%

Второе преобразование~--- одовременная (чтобы $R$ не вылазило) нормировка $x$ и $t$ (избавляемся от $U_0$):
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
A=\frac{1}{R},\quad B=0,\quad C=1,\quad D=\frac{U_0}{R},\\
\Psi(x,y,t)=
-\tanh{y}+
a_1\sech^2{y}\cos{n_1\left(x-\frac{L^2}{6R^2}n_1^2 t\right)}+
a_2\sech^2{y}\cos{n_2\left(x-\frac{L^2}{6R^2}n_2^2 t\right)}.
\end{gathered}
\label{Psi2}
\end{equation}
%
Подставляя отношение $L/R$ из (\ref{n2aQ}) в (\ref{Psi2}) получаем функцию
тока, зависящую только от $n_{1,2}$
%
\begin{equation}
\Psi(x,y,t)=
-\tanh{y}+
a_1\sech^2{y}\cos{n_1\left(x-\frac{2n_1^2}{3(n_1^2+n_2^2)} t\right)}+
a_2\sech^2{y}\cos{n_2\left(x-\frac{2n_2^2}{3(n_1^2+n_2^2)} t\right)}.
\label{Psi2tr}
\end{equation}
%
Следующий шаг~--- приведение дроби $n_1/n_2$ к несократимому виду.
Пусть $n_1/n_2$~--- сократимая дробь. Тогда
%
\begin{equation}
n_1=mN_1,\quad n_2=mN_2,
\label{N12}
\end{equation}
%
где $m\ne 1$~--- наибольший общий делитель $n_1$ и $n_2$, а
$N_1/N_2$~--- несократимая дробь. Подставив (\ref{N12}) в (\ref{Psi2tr}),
получаем
%
\begin{equation}
\Psi(x,y,t)=
-\tanh{y}+
a_1\sech^2{y}\cos{mN_1\left(x-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}+
a_2\sech^2{y}\cos{mN_2\left(x-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}.
\label{Psi2tr2}
\end{equation}
%

Соответственно, третье преобразование~--- избавление от $m$:
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
A=D=m,\quad B=0,\quad C=1,\\
\Psi(x,y,t)=
-\tanh{y}+
a_1\sech^2{y}\cos{N_1\left(x-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}+
a_2\sech^2{y}\cos{N_2\left(x-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)} t\right)}.
\end{gathered}
\label{Psi3}
\end{equation}
%

Последнее преобразование~--- переход в систему отсчёта, движующуюся
вместе с одной из волн. В какую именно~--- определяется из соотношения
между амплитудами $a_1$ и $a_2$. Итак, два варианта:
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
A=C=D=1,\quad B_1=-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)},\quad B_2=-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)}\\
\Psi_1(x,y,t)=
-\tanh{y}+
a_1\sech^2{y}\cos{N_1 x}+
a_2\sech^2{y}\cos{(N_2x+\omega_2t)}+C_2y,\\
\Psi_2(x,y,t)=
-\tanh{y}+
a_1\sech^2{y}\cos{(N_1x-\omega_1t)}+
a_2\sech^2{y}\cos{N_2 x}+C_1y,\\
\omega_1=\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_1,\quad
\omega_2=\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_2,\quad
C_1=\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)},\quad
C_2=\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)}.
\end{gathered}
\label{Psie}
\end{equation}
%

Преобразование от (\ref{orpsi}) к (\ref{Psie}) и обратно
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
x'_{1,2}=\frac{mx}{R}-C_{2,1} \frac{mU_0}{R} t,\quad y'=\frac{y}{L},\quad t'=\frac{mU_0}{R}t,\\
x=\frac{(x'_{1,2}+C_{2,1} t')R}{m},\quad y=Ly',\quad t=\frac{R}{mU_0}t'.
\end{gathered}
\end{equation}
%

Два вывода. Во-первых, динамика системы полностью определяется двумя
контрольными параметрами (не считая амплитуд, конечно) $n_1$ и $n_2$.
Во-вторых, эти два контрольных параметра определяются аж четырьмя
физическими параметрами, которые могут меняться в эксперименте.
Это приводит к большой свободе в выборе $n_1$ и $n_2$.

Для связи с экспериментом нам нужно указать значения
волновых чисел (определяется геометрия потока) и амплитуды при
которых происходит тот или иной эффект. Далее экспериментаторы
подбирают параметры установки (ширина струи, длина канала,
максимальная скорость сдвигового потока).

Гипотеза: разрушение центральной инвариантной кривой $CIC$
(полученной итерациями одной из индикаторных точек системы) при
минимальной амплитуде возмущения стоит ожидать при определённых
соотношениях между частотой стационарной системы
(сдвиговый поток + волна Россби) и частотой возмущения
(вторая волна Россби). Для проверки гипотезы нам необходимо выбрать
такую пару $N_1-N_2$, для которой частоты стационарного
потока и частота возмущения будут равны или кратны.

\section{Стационарная функция тока, особые точки и бифуркации}
Рассмотрим случай, когда одна из амплитуд $a_1$ или $a_2$ равна нулю. Тогда, одна из функции тока
в (\ref{Psie}) будет стационарной. Применив нормировку (\ref{coordtrans}) с параметрами $A=D=N_{1,2}$, $B=0$, $C=1$
и убрав индексы у переменных ($C_{1,2}$ заменим на маленькую $c$, чтобы не путать с $C$ из (\ref{coordtrans})),
получаем стационарную функцию тока
Исходная функция тока
%
\begin{equation}
\Psi=cy-\tanh y+a\sech^2 y\cos x.
\label{psi_stat}
\end{equation}
%
Стационарные уравнения движения
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\dot x=\sech^2y\left(1+a\tanh y\cos x\right)-c,\\
\dot y=-a\sech^2y\sin x.
\end{gathered}
\label{Dyneq_stat}
\end{equation}
%

Для нахождения стационарных точек приравняем нулю правые части системы
(\ref{Dyneq_stat}). Из второго уравнения сразу получаем, что стационарные
точки находятся при $x=2\pi n$ и $x=\pi+2\pi n$, где $n$~--- целое число.
Подставляя $x$ в первое уравнение, получаем
%
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sech^2y\left(1+2a\tanh y\right)-c=&0, &x&=2\pi n,\\
\sech^2y\left(1-2a\tanh y\right)-c=&0, &x&=\pi+2\pi n.
\end{aligned}
\label{ur_y}
\end{equation}
%
Применив формулу $\sech^2y=1-\tanh^2y$ и обозначив $z=\tanh y$ получаем
%
\begin{equation}
\begin{aligned}
(1-z^2)(1+2az)-c=&0, &x&=2\pi n,\\
(1-z^2)(1-2az)-c=&0, &x&=\pi+2\pi n.
\end{aligned}
\label{ur_z}
\end{equation}
%
Корни обеих уравнений совпадают с точностью до знака, так что в дальнейшем
достаточно рассмотреть только первое уравнение
%
\begin{equation}
2az^3+z^2-2az+c-1=f(z)=0.
\label{ur_z_main}
\end{equation}
%
В силу того, что $f(\pm 1)=c>0$, а $f(0)=c-1<0$ ($c<2/3$, что следует из определения $C_{1,2}$ в (\ref{Psie})), очевидно существование у уравнения (\ref{ur_z_main}) трёх корней.
\begin{enumerate}
\item Корень на луче $(-\infty,-1)$. Этот корень не имеет физического смысла, так как из определения $z$ следует, что
$|z|<1$.
\item Корень на отрезке $(-1,0)$.
\item Корень на отрезке $(0,1)$.
\end{enumerate}

Таким образом, в системе имеется
четыре стационарных точки. Анализ устойчивости сравнительно громоздок, но прост. При $x=0$ верхняя
точка неустойчива, нижняя~--- устойчива. При $x=\pi$~--- наоборот.
Анализ сепаратрис не удался, но численно определить кривую, на которой
происходит бифуркация перестройки сепаратрис вполне возможно.
%
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{ccrit.eps}
\caption{Диаграмма состояний системы на плоскости $a$~-- $c$.
Зона I~--- гетероклинические сепаратрисы.
Зона II~--- гомоклинические сепаратрисы.}
\end{center}
\label{phase_diag}
\end{figure}
%


\subsection{Анализ резонансных условий}

Проведём аналитическую оценку значений частот стационарной системы и
возмущения, удовлетворяющих условию баллистического резонанса.
Стационарная система~--- это течение созданное сдвиговым потоком и
одной из волн Россби. Рассмотрим случай когда $a_1>a_2$
(напомним, что в принятой нормировке $N_1>N_2$), т.~е. вторая
волна является возмущением:
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\frac{d x_1}{d t}=-C_2+\sech^2{y}[1+2 a_1\tanh{y}\cos{N_1 x}+
2 a_2\tanh{y}\cos{(N_2 x+\omega_2 t)}],\\
\frac{d y_1}{d t}=-\sech^2{y}[a_1 N_1\sin{N_1 x}+
a_2 N_2\sin{(N_2 x+\omega_2 t)}].
\end{gathered}
\label{system}
\end{equation}
%

Исходя из поставленной задачи~--- определение условий
разрушения центральной инвариантной кривой, интерес представляет
центральная часть стационарного потока. Грубая оценка
(при $a_1\approx 0$) максимальной зональной скорости в указанной области
потока получается из уравнений адвекции (\ref{system}):
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\frac{d x_1}{d t}=-C_2+1.
\end{gathered}
\label{velos}
\end{equation}
%
Соответственно, максимальная частота $f_{1}=-C_2+1$.
Условие баллистического резонанса для центральной области имеет вид\footnote{Michael: Упрости выражение.}:
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\frac{f_{1}}{\omega_2}=(1-\frac{2N_1^2}{3(N_1^2+N_2^2)})/
(\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_2)=k_1.
\end{gathered}
\label{rez}
\end{equation}
%

Для случая $a_1<a_2$, т.~е. первая волна является возмущением:
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\frac{d x_2}{d t}=-C_1+\sech^2{y}[1+2 a_1\tanh{y}\cos{(N_1 x-\omega_1 t)}+
2 a_2\tanh{y}\cos{N_2 x}],\\
\frac{d y_2}{d t}=-\sech^2{y}[a_1 N_1\sin{(N_1 x-\omega_1 t)}+
a_2 N_2\sin{N_2 x}].
\end{gathered}
\label{system1}
\end{equation}
%
Грубая оценка (при $a_2\approx 0$) максимальной зональной скорости:
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\frac{d x_2}{d t}=-C_1+1.
\end{gathered}
\label{velos1}
\end{equation}
%
Соответственно, максимальная частота $f_{2}=-C_1+1$.
Условие баллистического резонанса для центральной области имеет вид\footnote{Michael: Упрости выражение.}:
%
\begin{equation}
\begin{gathered}
\frac{f_{2}}{\omega_1}=(1-\frac{2N_2^2}{3(N_1^2+N_2^2)})/
(\frac{2}{3}\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1^2+N_2^2}N_1)=k_2.
\end{gathered}
\label{rez1s}
\end{equation}
%
На рис.~\ref{kk0.5} приведены диаграммы функций $k_1(N_1,N_2)$ и $k_2(N_1,N_2)$,
которые будут полезны при выборе $N1$ и $N2$, и анализе
результатов численного моделирования адвекции.
%
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k105.eps}
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k205.eps}
\caption{$k1=k2=0.5$.}
\end{center}
\label{kk0.5}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k11.eps}
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k21.eps}
\caption{$k1=k2=1.0$.}
\end{center}
\label{kk1}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k115.eps}
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k215.eps}
\caption{$k1=k2=1.5$.}
\end{center}
\label{kk1.5}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k12.eps}
%\includegraphics[width=0.49\textwidth]{k22.eps}
\caption{$k1=k2=2$.}
\end{center}
\label{kk2}
\end{figure}
%

Если отношение $N_1/N_2$ сократимо на некототорое число $m$, то истинный порядок резонанса не $k$, а $mk$.
Порядок резонанса определяется отношением $f$ к $\omega$. Для кратных $N_{1,2}$ $f$ в $m$ раз больше, чем
$1-C$, так как истинная длина фрейма (та длина, на которую укладывается целое число длин обеих волн) равна
$2\pi/m$, а не $2\pi$. То есть $f_\text{true}=mf$, $k_\text{true}=f_\text{true}/\omega$ и, следовательно,
$k_\text{true}=mk$\footnote{Michael: Проверь это по графикам.}. Так как $k$ инвариантно относительно преобразования
(\ref{Psi3}), то при пользовании графиками для кратных $N_{1,2}$ нужно смотреть график для сокращённых $N_{1,2}$, но
при в $m$ раз большем $k$\footnote{Michael: Ну, надеюсь, понятно.}.

При нечётных $N_1$ и $N_2$ уравнения движения (\ref{system}), (\ref{system1}) имеют симметрию
%
\begin{equation}
\hat S:\left\{
\begin{aligned}
x'&=\pi+x,\\
y'&=-y
\end{aligned}\right.
\label{*}
\end{equation}
%
и time reversal симметрию
%
\begin{equation}
\hat I_0:\left\{
\begin{aligned}
x'&=-x,\\
y'&=y.
\end{aligned}\right.
\label{**}
\end{equation}
%
Эти симметрии являются инволюциями, т.~е. $\hat S^2=1$ and $\hat I_0^2=1$.
Решая уравнение
%
\begin{equation}
\hat I_0(x_j, y_j)=\hat S(x_j, y_j),
\label{ind1}
\end{equation}
%
где $j$ номер индикаторной точки, находим координаты индикаторных точек,
итерации которых позволяют построить центральную инвариантную кривую:
($x_1=\pi/2$, $y_1=0$) and ($x_2=3\pi/2$, $y_2=0$).

\subsection{Диаграммы параметров}

Для набора пар нечётных волновых чисел ($N_1-N_2$, $N_1>N_2$,
$N_1,N_2\in[1,11]$) построены диаграммы характеристик
$CIC$ в зависимости от амплитуд волн Россби.
Нечётные значения $N_1-N_2$ рассматриваются из-за особенностей
численного алгоритма, основанного на свойствах симметрии потока.
На диаграммах хорошо различима граница разрушения (``критическая граница'')
$CIC$. Критерием окончания счёта каждой из диаграмм является достижение в
численном эксперименте максимального времени счёта $t_{max}=5000$ периодов
возмущения. Т.е. счёт не прекращается даже если $CIC$ разрушена - таким
образом, на выходе мы получаем информацию о свойствах центральной
хаотической струи. Центральная хаотическая струя - область центрального
потока, образующаяся на месте разрушенной $CIC$ и окружавших её инвариантных
кривых. О существовании центральной хаотической струи стоит рассуждать
когда мы находимся далеко от границ разрушения $CIC$ на приведённых
диаграммах.

В обозначениях файлов: $L$ - длина $CIC$; $y_{max}$ - модуль максимального
отклонения $CIC$ (высота горба); $d$ - площадь центральной стохастической
струи (область потока которую заметают точки сечения Пуанкаре
разрушенной $CIC$); $wind number$ - число обращений
(= (число фреймов)/(число периодов возмущения)).

Предварительный анализ диаграмм чисел обращения указывает, что в допустимом
интервале значений амплитуд волн Россби (при больших значениях происходит
изменение топологии потока) спайки (т.е. разрушение $CIC$) наблюдаются при
пересоединении многообразий полуцелых резонансов. Подтверждением этого
служит тот факт, что $wind number$ у спайков на всех приведённых картах
меньше единицы и находятся в интервале значений $[0.7:0.3]$.
Т.о. резонансное разрушение $CIC$ крайне чувствительно к выбору
амплитуд и волновых чисел.

Рассмотрим случай $5-1$.
Диаграммы параметров: $5_1L.bmp, 5_1y.bmp, 5_1wind number.bmp$.
На последней диаграмме хорошо разрешим спайк при $a_1=[0.23:0.25]$, и
амплитуде возмущения $a_2=0.1$ и с числом вращения ~[0.4:0.45].
На рис. $line_51.eps$, приведён срез диаграмм для $a_1=[0.23:0.27]$,
$a_2=0.1$. Далее строится сечение Пуанкаре для параметров при которых
разрушена $CIC$ (см. рис.$5_1pu$ ) $a_1=0.2415$, $a_2=0.1$. Синие точки
следы баллистических (относительно выбранной системы отсчёта) траекторий,
зелёные - хаотических, красные осцилляторных, чётные точки - следы
хаотической траектории с НУ $CIC$ (индикаторная точка).
На рис. $5_1wind.eps$ (верхняя панель) приведён профиль числа обращения
для отрезка $x=0.6$, $y=[-0.9:-0.3]$ ($a_1=0.2415$, $a_2=0.1$).
Синие точки соответствуют начальным траекториям с НУ попавшими на остров
баллистического резонанса $7:3$ ($wind number = 3/7$ - частица в острове
пролетает 3 фрейма за 7 периодов возмущения) вблизи $CIC$.
На рис.$5_1freqmap.bmp$ приведена частотная карта стационарного
потока ($a_2=0$, $a_1=0.2415$).
На рис. $5_1pupoint.eps$ - приведёно сечение Пуанкаре (жирные точки)
и траектория для частицы (зелёная кривая) с НУ на острове баллистического
резонанса $7:3$.
На сечениях Пуанкаре рис. $5_1CIC.eps$ и $5_1CIC_reconnection.eps$
показаны метаморфозы $CIC$ и близких инвариантных кривых при пересоединении
многообразий островов баллистического резонанса $7:3$.

Вывод: показано что разрушение $CIC$ (как транспортного барьера) возможно
при малых амплитудах возмущения ($a_1>a_2$ и $N_1>N_2$).
Причина разрушения - резонансный характер взаимодействия стационарной
системы (сдвиговый поток + волна Россби) и внешнего возмущения
(вторая волна Россби). Такое разрушение наблюдается не для всех пар
$N_1$ и $N_2$, т.к. частоты стационарной системы и возмущения зависят от
$N_1$ и $N_2$. + указать наиболее удачные пары и амплитуды.

Для наблюдения разрушения $CIC$ и пересоединения многообразий в
эксперименте необходимо, например, создать поток с $N_1=5$ и $N_2=1$
и амплитудами волн $a_1=[0.24, 0.244]$ и $a_2=0.1$. При вариации амплитуды
первой волны в указанном диапазоне значений на фотографиях ожидаются
изображения подобные на рис. $5_1CIC.eps$ и $5_1CICreconnection.eps$.
Важно отметить, что наши результаты применимы для интерпретации
эксперимента лишь, тогда, когда применимо уравнение Релея-Куо
для описания динамики потока. Остаётся открытым технический вопрос
о визуализации центральной стохастической струи.

Дальнейшее исследование направлено на изучение топологии центральной
стохастической струи (расчёт её площади в зависимости от амплитуд волн).
Интерес представляет неоднородная окраска областей разрушенной $CIC$ на
$L$ и $d$-диаграммах. Также планируется исследование потоков с чётно-нечётными
парами волновых чисел.
Анализ площадей -
Чётно-нечётные пары - граница перехода, СП, связь с аналитической
оценкой резонансных условий.

+ ? бифуркации стох. слоя.

\end{document}

