\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}

\begin{document}
\section{Линейное преобразование переменных}
Пусть есть гамильтониан
\begin{equation}
H=\frac{p^2}{2m}+U(x)
\label{Ham}
\end{equation}
с соответствующими классическими уравнениями движения
\begin{equation}
\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x},\quad
\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p}
\label{Hameqs}
\end{equation}
и квантовым уравнением Шрёдингера
\begin{equation}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+U\Psi.
\label{Shreq}
\end{equation}
Сделаем замену переменных
\begin{equation}
x'=Ax,\quad p'=Bp,\quad t'=Ct,
\label{norm_main}
\end{equation}
где $A$, $B$ и $C$~--- некоторые константы. Найдём для этих новых переменных гамильтониан $H'$, потенциальную энергию $U'$, массу $m'$ и
постоянную Планка $\hbar'$ исходя из инвариантности уравнений \eqref{Hameqs} и \eqref{Shreq}. Сделаем замену переменных в канонических
уравнениях \eqref{Hameqs}:
\begin{equation}
\frac{C}{B}\frac{dp'}{dt'}=-A\frac{\partial H}{\partial x'},\quad
\frac{C}{A}\frac{dx'}{dt'}=B\frac{\partial H}{\partial p'}
\label{repHameqs1}
\end{equation}
или
\begin{equation}
\frac{dp'}{dt'}=-\frac{\partial\left(\frac{AB}{C}H\right)}{\partial x'},\quad
\frac{dx'}{dt'}=\frac{\partial\left(\frac{AB}{C}H\right)}{\partial p'},
\label{repHameqs2}
\end{equation}
из чего следует, что $H'=\frac{AB}{C}H$. Применяя этот результат к гамильтониану \eqref{Ham}, получаем
\begin{equation}
H'=\frac{AB}{C}\left(\frac{p^2}{2m}+U(x)\right)=\frac{A}{BC}\frac{p'^2}{2m}+\frac{AB}{C}U(x'/A)=
\frac{p'^2}{2m'}+U'(x'),
\label{repHam}
\end{equation}
где $m'=\frac{BC}{A}m$ и $U'=\frac{AB}{C}U$.

Теперь преобразуем уравнение Шрёдингера \eqref{Shreq}:
\begin{equation}
i\hbar C\frac{\partial}{\partial t}\Psi'=-A^2\frac{BC}{A}\frac{\hbar^2}{2m'}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi'+\frac{C}{AB}U'\Psi'
\label{repShreq1}
\end{equation}
или
\begin{equation}
iAB\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi'=-\frac{(AB\hbar)^2}{2m'}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi'+U'\Psi',
\label{repShreq2}
\end{equation}
откуда получаем $\hbar'=AB\hbar$. Преобразование для $\Psi'$ может быть найдено из условия нормировки.

Таким образом, мы получаем, что при замене переменных \eqref{norm_main} уравнения \eqref{Hameqs}, \eqref{Shreq} и гамильтониан \eqref{Ham}
сохраняют свою форму при преобразовании параметров
\begin{equation}
m'=\frac{BC}{A}m,\quad U'=\frac{AB}{C}U,\quad \hbar'=AB\hbar.
\label{norm_params}
\end{equation}

\section{Исходные уравнения}

\begin{equation}
\begin{gathered}
H=\frac{P^2}{2m}-\hbar\frac{\Omega_0^2u^2(x,t)}{\delta},\\
i\frac{db}{dt}=-\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2b}{\partial X^2}-\frac{\Omega_0^2u^2(X,t)}{\delta}b,\\
u(X,t)=\sin{kX}-\varepsilon\sin{(kX-\varphi(t))},\\
\varphi_1(t)=\omega_0t+\frac{bT}{2}\left(\frac{t}{T}\right)^2,\quad
\varphi_2(t)=\omega_0t-\frac{bT}{4\pi}\sin\frac{2\pi t}{T}.
\end{gathered}
\label{main_b}
\end{equation}

\begin{equation}
u^2(X,t)=-\frac{1}{2}\cos{2kx}-2\varepsilon\sin{kx}\sin{(kx-\varphi(t))}.
\label{u2}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{gathered}
\omega_r=\frac{\hbar k^2}{2m}=2\pi(1\div100)\cdot10^3\ \text{Гц},\\
\delta=2\pi(1\div10)\cdot10^9\ \text{Гц},\\
\Omega_0=2\pi(1\div200)\cdot10^6\ \text{Гц},\\
\omega_0=2\pi\cdot10^6\ \text{Гц}.
\end{gathered}
\end{equation}

\section{Первая нормировка}
Время и координату нормируем на параметры волны возмущения, нормировку импульса получаем из условия $m'=1$
\begin{equation}
A=2k,\quad C=\omega_0,\quad \frac{BC}{A}m=1 \Rightarrow B=\frac{2k}{m\omega_0}.
\end{equation}

\begin{equation}
t'=w_0t,\quad x=2kX,\quad p=\frac{2k}{m\omega_0}P,\quad H'=\frac{4k^2}{m\omega_0^2}H.
\label{norm1}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{gathered}
H'=\frac{p^2}{2}+Q\cos x+E\sin\frac{x}{2}\sin{\left(\frac{x}{2}-\varphi(t')\right)},\\
Q=\frac{2\hbar\Omega_0^2k^2}{\delta m\omega_0^2},\quad
E=\frac{8\hbar\Omega_0^2k^2}{\delta m\omega_0^2}\varepsilon,\\
\varphi_1(t')=t'+\frac{b'T'}{2}\left(\frac{t'}{T'}\right)^2,\quad
\varphi_2(t')=t'-\frac{b'T'}{4\pi}\sin\frac{2\pi t'}{T'},\\
T'=\omega_0T,\quad b'=\frac{b}{\omega_0},\\
\hbar'=\frac{8\omega_r}{\omega_0}.
\end{gathered}
\label{norm1H}
\end{equation}

\begin{equation}
Q=\frac{4\omega_r\Omega_0^2}{\delta}\frac{1}{\omega_0^2}=10^{-7}\div1,\quad
\hbar'=10^{-2}\div1.
\end{equation}

\section{Вторая нормировка}
Координату нормируем на волновое число возмущения, нормировку для импульса и времени находим из условий $m'=1$ и равенства единице
коэффициента при $\cos x$
\begin{equation}
A=2k,\quad \left\{
\begin{aligned}
\frac{BC}{A}m=&1,\\
\frac{AB}{C}\frac{\hbar\Omega_0^2}{2\delta}=&1,
\end{aligned}
\right.\Rightarrow
B=\sqrt{\frac{2\delta}{\hbar\Omega_0^2m}},\quad
C=\sqrt{\frac{2k^2\hbar\Omega_0^2}{\delta m}}.
\end{equation}

\begin{equation}
t'=\sqrt{\frac{2k^2\hbar\Omega_0^2}{\delta m}}t=\omega_nt,\quad x=2kX,\quad p=\sqrt{\frac{2\delta}{\hbar\Omega_0^2m}}P,\quad H'=\frac{2\delta}{\hbar\Omega_0^2}H.
\label{norm2}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{gathered}
H'=\frac{p^2}{2}+\cos x+4\varepsilon\sin\frac{x}{2}\sin{\left(\frac{x}{2}-\varphi(t')\right)},\\
\varphi_1(t')=\omega't'+\frac{b'T'}{2}\left(\frac{t'}{T'}\right)^2,\quad
\varphi_2(t')=\omega't'-\frac{b'T'}{4\pi}\sin\frac{2\pi t'}{T'},\\
\omega'=\frac{\omega_0}{\omega_n},\quad
T'=\omega_nT,\quad b'=\frac{b}{\omega_n},\\
\hbar'=4\frac{\sqrt{\delta\omega_r}}{\Omega_0}.
\end{gathered}
\label{norm2H}
\end{equation}

\begin{equation}
\omega_n=\sqrt{\frac{4\Omega_0^2\omega_r}{\delta}}=10^3\div10^6,\quad\omega'=10^3\div1,\quad
\hbar'=10^{-2}\div10^2.
\end{equation}

\end{document}
