From 76d0af0de187d54ec6be8dafa07a6a1c055c40de Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Michael Uleysky <uleysky@poi.dvo.ru>
Date: Wed, 30 Jan 2019 13:55:03 +1000
Subject: [PATCH] Some text about eigenvectors.

---
 Evolution_matrix/lyap.tex | 30 ++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 30 insertions(+)

diff --git a/Evolution_matrix/lyap.tex b/Evolution_matrix/lyap.tex
index 56bdd94..9a597a1 100644
--- a/Evolution_matrix/lyap.tex
+++ b/Evolution_matrix/lyap.tex
@@ -182,6 +182,36 @@ D=(\sigma_1+\sigma_2)^2\cos^2{(\phi_1+\phi_2)}-4\sigma_1\sigma_2.
 %
 Произведение собственных чисел равно произведению сингулярных и равно детерминанту матрицы.
 
+Для матриц, сохраняющих площадь ($\operatorname{Det} M=1$), выражения \eqref{det_ch_eq} и \eqref{lambda_ch_eq} упрощаются до
+%
+\begin{equation}
+D=\frac{\left(\sigma^2+1\right)^2}{\sigma^2}\cos^2{(\phi_1+\phi_2)}-4,
+\label{det_ch_eqH}
+\end{equation}
+%
+%
+\begin{equation}
+\lambda_{1,2}=\frac{(\sigma^2+1)\cos{(\phi_1+\phi_2)}\pm\sigma\sqrt{D}}{2\sigma}.
+\label{lambda_ch_eqH}
+\end{equation}
+%
+Направляющие углы собственных векторов определяются как
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\chi_{1,2}=\arctg\left(\frac{\lambda_{1,2}-a}{b}\right),\\
+a=\sigma\cos\phi_1\cos\phi_2-\frac{1}{\sigma}\sin\phi_1\sin\phi_2,\quad
+b=-\sigma\sin\phi_1\cos\phi_2-\frac{1}{\sigma}\cos\phi_1\sin\phi_2.
+\end{gathered}
+\end{equation}
+%
+Угол между собственными векторами определяется достаточно просто
+%
+\begin{equation}
+\cos(\chi_1-\chi_2)=\frac{\sigma^2+1}{\sigma^2-1}\sin{(\phi_1+\phi_2)}.
+\end{equation}
+%
+
 \section{Инвариантный эллипс}
 В случае, если действие матрицы $M$ сохраняет площадь ($\operatorname{Det} M=1$), существуют инвариантные кривые второго порядка, которые под действием матрицы переходят сами в себя. В этой главе мы будем искать инвариантный эллипс.