From 6de1e90113c78a6ed2e564cc2785d074f297adee Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Michael Uleysky <uleysky@poi.dvo.ru>
Date: Wed, 30 Jan 2019 13:55:38 +1000
Subject: [PATCH] Text about turning angle on the invariant ellipsis

---
 Evolution_matrix/lyap.tex | 82 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 82 insertions(+)

diff --git a/Evolution_matrix/lyap.tex b/Evolution_matrix/lyap.tex
index 9a597a1..8c1a8d0 100644
--- a/Evolution_matrix/lyap.tex
+++ b/Evolution_matrix/lyap.tex
@@ -333,6 +333,88 @@ k^4=\frac{\sigma^2-(\sigma^2+1)\cos^2\theta}{1-(\sigma^2+1)\cos^2\theta}=1+\frac
 \end{equation}
 %
 
+Однако, мы нашли только два параметра эллипса, в то время как в сингулярном разложении их три. Существует ещё один параметр, а именно угол поворота по инвариантному эллипсу, $\psi$. Чтобы его найти, преобразуем систему отсчёта так, чтобы инвариантный эллипс превратился в круг. Для этого необходимо последовательно провести поворот на угол $-\theta$, а затем растяжение-сжатие осей на коэффициент $k$. Такое преобразование координат осуществляется матрицей
+%
+\begin{equation}
+Q=S^{-1}(k)R(-\theta),\quad
+S(k)=
+\begin{pmatrix}
+k & 0\\
+0 & 1/k
+\end{pmatrix},\quad
+R(\theta)=
+\begin{pmatrix}
+\cos\theta&-\sin\theta\\
+\sin\theta&\cos\theta
+\end{pmatrix}
+\end{equation}
+%
+В новой системе координат матрица $M$ должна быть просто матрицей поворота на угол $\psi$
+%
+\begin{equation}
+QMQ^{-1}=S^{-1}(k)R(-\theta)MS(k)R(\theta)=R(\psi),
+\end{equation}
+%
+или
+%
+\begin{equation}
+M=Q^{-1}R(\psi)Q=R(\theta)S(k)R(\psi)S^{-1}(k)R(-\theta).
+\label{elldecomp}
+\end{equation}
+%
+Разложение вида \eqref{elldecomp} есть аналог спектрального разложения, только в нём центральная матрица ортогональная, а не диагональная.
+
+В явном виде разложение \eqref{elldecomp} выглядит следующим образом
+%
+%\begin{multline}
+%\frac{1}{\sigma}
+%\begin{pmatrix}
+%\sigma^2\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2&
+%-\sigma^2\sin\phi_1\cos\phi_2-\cos\phi_1\sin\phi_2\\
+%\sigma^2\cos\phi_1\sin\phi_2+\sin\phi_1\cos\phi_2&
+%-\sigma^2\sin\phi_1\sin\phi_2+\cos\phi_1\cos\phi_2
+%\end{pmatrix}
+%=\\
+%\frac{1}{k^2}
+%\begin{pmatrix}
+%k^2\cos\psi+\left(k^4-1\right)\sin\theta\cos\theta\sin\psi&
+%-\left(k^4\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)\sin\psi\\
+%\left(k^4\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)\sin\psi&
+%k^2\cos\psi-\left(k^4-1\right)\sin\theta\cos\theta\sin\psi
+%\end{pmatrix}
+%\end{multline}
+%
+%
+\begin{multline}
+\begin{pmatrix}
+\sigma\cos\phi_1\cos\phi_2-\dfrac{\sin\phi_1\sin\phi_2}{\sigma}&
+-\sigma\sin\phi_1\cos\phi_2-\dfrac{\cos\phi_1\sin\phi_2}{\sigma}\\[1em]
+\sigma\cos\phi_1\sin\phi_2+\dfrac{\sin\phi_1\cos\phi_2}{\sigma}&
+-\sigma\sin\phi_1\sin\phi_2+\dfrac{\cos\phi_1\cos\phi_2}{\sigma}
+\end{pmatrix}
+=\\
+=\begin{pmatrix}
+\cos\psi+\dfrac{\left(k^4-1\right)\sin\theta\cos\theta\sin\psi}{k^2}&
+-\dfrac{\left(k^4\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)\sin\psi}{k^2}\\[1em]
+\dfrac{\left(k^4\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)\sin\psi}{k^2}&
+\cos\psi-\dfrac{\left(k^4-1\right)\sin\theta\cos\theta\sin\psi}{k^2}
+\end{pmatrix}
+\end{multline}
+%
+Суммируя диагональные члены и вычитая члены на косой диагонали, получаем
+%
+\begin{equation}
+\cos\psi=\frac{\sigma^2+1}{2\sigma}\cos(\phi_1+\phi_2),\quad \sin\psi=\frac{k^2\left(\sigma^2+1\right)}{\sigma\left(k^4+1\right)}\sin(\phi_1+\phi_2).
+\label{psidef}
+\end{equation}
+%
+Условием существования решения уравнений \eqref{psidef} является, естественно, $D\le 0$. Угол поворота $\psi$ лежит в той же четверти, что и $\phi_1+\phi_2$, и в явном виде определяется как
+%
+\begin{equation}
+\psi=\xi\arccos\left(\frac{\sigma^2+1}{2\sigma}\cos(\phi_1+\phi_2)\right).
+\end{equation}
+%
+
 \section{Показатель Ляпунова}
 Пусть дана система нелинейных уравнений
 %