Text about hyperbolic periodic orbit in the meandering system

Meandr_LinSys/meandr.tex

@@ -0,0 +1,251 @@
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{mathptmx}
+\renewcommand{\rmdefault}{cmr}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage{indentfirst}
+\usepackage[russian]{babel}
+
+\topmargin=-1.8cm
+\oddsidemargin=-5mm
+\evensidemargin=-5mm
+\textheight=24.5cm
+\textwidth=18cm
+
+\tolerance=700
+
+\renewcommand{\le}{\leqslant}
+\renewcommand{\ge}{\geqslant}
+\renewcommand{\phi}{\varphi}
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
+%\newcommand{\mstack}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}}
+\DeclareMathOperator{\arccosh}{arccosh}
+\DeclareMathOperator{\arcsech}{arcsech}
+\DeclareMathOperator{\sech}{sech}
+
+\parindent=0cm
+
+\title{Линейный анализ гиперболической периодической орбиты в системе с меандрирующим потоком}
+\begin{document}
+\section{Линеаризация уравнений}
+Мы имеем следующие уравнения движения
+%
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\dot x&=\frac{1}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}\ch^2\theta}-C=X(x,y),\\
+\dot y&=-\frac{A(\tau)\sin x(1+A(\tau)^2-A(\tau)y\cos x)}{L\left(1+A(\tau)^2\sin^2 x\right)^{3/2}\ch^2\theta}=Y(x,y),
+\end{aligned}\qquad
+\begin{gathered}
+\theta=\frac{y-A(\tau)\cos x}{L\sqrt{1+A(\tau)^2\sin^2 x}},\\
+A(\tau)=A_0+\epsilon\cos{(\omega\tau+\phi)}.
+\end{gathered}
+\label{dots_nonlin}
+\end{equation}
+%
+Введём обозначения
+%
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+X_x(x,y)&=\frac{\partial X(x,y)}{\partial x},&
+X_y(x,y)&=\frac{\partial X(x,y)}{\partial y},\\
+Y_x(x,y)&=\frac{\partial Y(x,y)}{\partial x},&
+Y_y(x,y)&=\frac{\partial Y(x,y)}{\partial y}.
+\end{aligned}
+\label{defs_xy}
+\end{equation}
+%
+Линеаризуем систему (\ref{dots_nonlin}) в окрестности стационарной точки
+%
+\begin{equation}
+x_0=0,\quad y_0=L\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}+A_0.
+\label{zero_point}
+\end{equation}
+%
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\eta=x-x_0,\qquad \xi=y-y_0,\\
+\begin{aligned}
+\dot \eta&=X(x_0,y_0)+X_x(x_0,y_0)\eta+X_y(x_0,y_0)\xi,\\
+\dot \xi&=Y(x_0,y_0)+Y_x(x_0,y_0)\eta+Y_y(x_0,y_0)\xi.
+\end{aligned}
+\end{gathered}
+\label{dots_lin_gen}
+\end{equation}
+%
+Пропуская громоздкие вычисления, запишем результат:
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+\Phi=\omega\tau+\phi,\quad
+\Theta=\arccosh\sqrt{\frac{1}{LC}}-\frac{\epsilon\cos\Phi}{L},\\
+X(x_0,y_0)=\frac{1}{L\ch^2\Theta}-C,\quad
+Y(x_0,y_0)=0,\\
+X_x(x_0,y_0)=Y_y(x_0,y_0)=0,\quad
+X_y(x_0,y_0)=-\frac{2\tanh\Theta}{L^2\ch^2\Theta},\quad
+Y_x(x_0,y_0)=\frac{A(AL\Theta-1)}{L\ch^2\Theta}.
+\end{gathered}
+\label{Coeff_lin}
+\end{equation}
+%
+В силу малости $\epsilon$ можно существенно упростить систему (\ref{dots_lin_gen}), разложив правые части в ряд по $\epsilon\cos\Phi$ и оставив только линейные члены. Введём обозначения
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+X_0=\lim_{\epsilon\to 0}X(x_0,y_0),\quad
+X_{y0}=\lim_{\epsilon\to 0}X_y(x_0,y_0),\quad
+Y_{x0}=\lim_{\epsilon\to 0}Y_x(x_0,y_0),\\
+X_\epsilon=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\partial X(x_0,y_0)}{\partial (\epsilon\cos\Phi)},\quad
+X_{y\epsilon}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\partial X_y(x_0,y_0)}{\partial (\epsilon\cos\Phi)},\quad
+Y_{x\epsilon}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\partial Y_x(x_0,y_0)}{\partial (\epsilon\cos\Phi)}.
+\end{gathered}
+\label{defs_xyeps}
+\end{equation}
+%
+После преобразования система (\ref{dots_lin_gen}) выглядит так
+%
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\dot \eta&=X_0+X_{y0}\xi+\epsilon\cos\Phi(X_\epsilon+X_{y\epsilon}\xi),\\
+\dot \xi&=(Y_{x0}+\epsilon\cos\Phi Y_{x\epsilon})\eta.
+\end{aligned}
+\label{dots_lin_lin}
+\end{equation}
+%
+Явный вид параметров (\ref{defs_xyeps})
+%
+\begin{equation}
+\begin{gathered}
+X_0=0,\quad
+X_{y0}=-\frac{2C\sqrt{1-LC}}{L},\quad
+Y_{x0}=A_0C\left(A_0L\arcsech\sqrt{LC}-1\right),\\
+X_\epsilon=\frac{2C\sqrt{1-LC}}{L},\quad
+X_{y\epsilon}=\frac{2C(3LC-2)}{L^2},\\
+Y_{x\epsilon}=\frac{C\left(2A_0L\left(L+A_0\sqrt{1-LC}\right)\arcsech\sqrt{LC}-2A_0\sqrt{1-LC}-L(1+A_0^2)\right)}{L}.
+\end{gathered}
+\label{Coeff_lin_lin}
+\end{equation}
+%
+Однако, можно пойти ещё дальше. Продифференцируем первое уравнение системы (\ref{dots_lin_lin}) по $\tau$
+%
+\begin{equation}
+\ddot\eta=X_{y0}\dot\xi-\epsilon\omega\sin\Phi(X_\epsilon+X_{y\epsilon}\xi)+X_{y\epsilon}\epsilon\cos\Phi\dot\xi.
+\label{ddots_beg}
+\end{equation}
+%
+Из первого уравнения системы (\ref{dots_lin_lin}) выразим $\xi$
+%
+\begin{equation}
+\xi=\frac{\dot\eta-\epsilon X_\epsilon\cos\Phi}{X_{y0}+\epsilon X_{y\epsilon}\cos\Phi}\approx
+\frac{\dot\eta}{X_{y0}}-\epsilon\frac{X_{y\epsilon}\dot\eta+X_\epsilon X_{y0}}{X_{y0}^2}\cos\Phi.
+\label{xi}
+\end{equation}
+%
+Подставим второе уравнение системы (\ref{dots_lin_lin}) и уравнение (\ref{xi}) в (\ref{ddots_beg}), отбросив члены второго порядка по $\epsilon$
+%
+\begin{equation}
+\ddot\eta+\frac{X_{y\epsilon}\omega}{X_{y0}}\epsilon\sin\Phi\dot\eta-
+(X_{y0}Y_{x0}+(X_{y0}Y_{x\epsilon}+X_{y\epsilon}Y_{x0})\epsilon\cos\Phi)\eta+
+X_\epsilon\omega\epsilon\sin{\Phi}=0.
+\label{ddots_med}
+\end{equation}
+%
+Это уравнение можно попытаться решить методом теории возмущений, но я её не знаю.
+
+Вернёмся к системе (\ref{dots_lin_gen}) и разложим её по $\epsilon\cos\Phi$ до второго порядка
+%
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\dot\eta&=X_0+X_{y0}\xi+\epsilon\cos\Phi(X_\epsilon+X_{y\epsilon}\xi)+\frac{\epsilon^2}{2}\cos^2\Phi(X_{\epsilon^2}+X_{y\epsilon^2}\xi),\\
+\dot \xi&=(Y_{x0}+\epsilon\cos\Phi Y_{x\epsilon}+\frac{\epsilon^2}{2}\cos^2\Phi Y_{x\epsilon^2})\eta.
+\end{aligned}
+\label{dots_linquad}
+\end{equation}
+%
+Параметры выражаются следующим образом
+%
+\begin{multline}
+Y_{x\epsilon^2}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\partial^2 Y_x(x_0,y_0)}{\partial (\epsilon\cos\Phi)^2}=
+-\frac{2C}{L^2}\left(A_0(2L^2-3LC+2)+2L(1+A_0^2)\sqrt{1-LC}-\right.\\
+\shoveright{\left.-L\left(
+L^2+A_0^2(2-3LC)+4A_0L\sqrt{1-LC}
+\right)\arcsech\sqrt{LC}\right),}\\
+X_{\epsilon^2}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\partial^2 X(x_0,y_0)}{\partial (\epsilon\cos\Phi)^2}=
+\frac{2C(2-3LC)}{L^2},\quad
+X_{y\epsilon^2}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\partial^2 X_y(x_0,y_0)}{\partial (\epsilon\cos\Phi)^2}=
+\frac{8C\sqrt{1-LC}(3LC-1)}{L^3}.
+\label{Coeff_lin_quad}
+\end{multline}
+%
+
+\section{Результаты}
+На всех нижеприведённых рисунках сплошная линия соответствует системе (\ref{dots_nonlin}), штриховая~---
+системе (\ref{dots_lin_lin}), пунктирная~--- системе (\ref{dots_linquad}) и штрихпунктирная~---
+системе (\ref{dots_lin_gen}).
+%
+\begin{figure}[!htbp]
+\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{x_0.eps}}
+\caption{Зависимость $x$-координаты начальной точки орбиты $x_0$ от силы возмущения $\epsilon$.}
+\label{fig_x0}
+\end{figure}
+%
+%
+\begin{figure}[!htbp]
+\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{y_0.eps}}
+\caption{Зависимость $y$-координаты начальной точки орбиты $y_0$ от силы возмущения $\epsilon$.}
+\label{fig_y0}
+\end{figure}
+%
+%
+\begin{figure}[!htbp]
+\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{y_o.eps}}
+\caption{Зависимость $y$-координаты начальной точки орбиты $y_o$ от силы возмущения $\epsilon$.
+Центр орбиты~--- средняя точка иежду масимальным и минимальным значениями $y$. По оси $x$ центр
+в пределах ошибки расположен в точке $x=0$ во всех случаях.}
+\label{fig_yo}
+\end{figure}
+%
+%
+\begin{figure}[!htbp]
+\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{a.eps}}
+\caption{Зависимость ширины орбиты $a$ от силы возмущения $\epsilon$.}
+\label{fig_a}
+\end{figure}
+%
+%
+\begin{figure}[!htbp]
+\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{b.eps}}
+\caption{Зависимость высоты орбиты $b$ от силы возмущения $\epsilon$.}
+\label{fig_b}
+\end{figure}
+%
+%
+\begin{figure}[!htbp]
+\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{S.eps}}
+\caption{Зависимость площади орбиты $S$ от силы возмущения $\epsilon$.}
+\label{fig_S}
+\end{figure}
+%
+%
+\begin{figure}[!htbp]
+\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{E.eps}}
+\caption{Зависимость отклонения от эллиптичности орбиты $E$ от силы возмущения $\epsilon$.
+Отклонение от эллиптичности определяется как отношение площади между эллипсом с полуосями $a$ и $b$ и орбитой
+к площади эллипса.}
+\label{fig_E}
+\end{figure}
+%
+%
+\begin{figure}[!htbp]
+\centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{tr.eps}}
+\caption{Вид орбит при $\epsilon=0.2$.}
+\label{fig_tr}
+\end{figure}
+%
+
+\section{Выводы}
+Как обычно, детальное исследование <<тривиальных>> вещей, о которых мы <<всё знали>>, выявляет нетривиальность этих вещёй и то, что наши знания о них были абсолютно не верны. Из проделанной работы следуют два основных вывода. Во-первых, сложная форма орбиты не есть происки нелинейных сил. Эта сложная форма появляется уже в простейшей линеаризованой модели. Во-вторых, правильная зависимость $y_o$ от $\epsilon$ появляется только во втором порядке разложения по $\epsilon$. До сих пор мы неявно предполагали, что наша система хорошо описывается первым порядком разложения по $\epsilon$ и, соответственно, действует только одна частота $\omega$. Вышеприведённый эффект говорит о том, что влияние гармоники $2\omega$ и, возможно, более высоких гармоник не является пренебрежимо малым, а приводит к вполне заметным эффектам.
+\end{document}